Страница 242 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.52 [1634] Собирающую стеклянную линзу мальчик погрузил в воду. Изменилась ли при этом оптическая сила линзы?

Да, оптическая сила линзы при погружении в воду изменилась — она уменьшилась.

Решение

Оптическая сила $D$ тонкой линзы определяется формулой, которая связывает ее с показателями преломления материала линзы $n_{линзы}$ и окружающей среды $n_{среды}$, а также с радиусами кривизны ее поверхностей $R_1$ и $R_2$:

$D = \left(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

Рассмотрим два случая.

1. Линза в воздухе

Изначально линза находится в воздухе. Показатель преломления воздуха $n_{среды} = n_{воздуха} \approx 1$. Линза сделана из стекла, поэтому $n_{линзы} = n_{стекла}$. Оптическая сила линзы в воздухе $D_{воздух}$ равна:

$D_{воздух} = \left(\frac{n_{стекла}}{n_{воздуха}} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right) = (n_{стекла} - 1) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

2. Линза в воде

Когда линзу погрузили в воду, окружающей средой стала вода с показателем преломления $n_{среды} = n_{воды} \approx 1.33$. Оптическая сила линзы в воде $D_{вода}$ теперь равна:

$D_{вода} = \left(\frac{n_{стекла}}{n_{воды}} - 1\right) \left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$

Сравнение

Геометрический множитель $\left(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}\right)$ для линзы не изменился. Чтобы сравнить оптические силы, достаточно сравнить первые множители в формулах: $(n_{стекла} - 1)$ и $\left(\frac{n_{стекла}}{n_{воды}} - 1\right)$.

Известно, что показатель преломления стекла больше показателя преломления воды, а тот, в свою очередь, больше показателя преломления воздуха: $n_{стекла} > n_{воды} > n_{воздуха}$ (типичные значения: $n_{стекла} \approx 1.5$, $n_{воды} \approx 1.33$, $n_{воздуха} \approx 1$).

Поскольку $n_{воды} > n_{воздуха}$, то отношение $\frac{n_{стекла}}{n_{воды}}$ будет меньше, чем отношение $\frac{n_{стекла}}{n_{воздуха}}$. Следовательно:

$\frac{n_{стекла}}{n_{воды}} < n_{стекла}$

Вычитая единицу из обеих частей неравенства, получаем:

$\left(\frac{n_{стекла}}{n_{воды}} - 1\right) < (n_{стекла} - 1)$

Так как для собирающей линзы оба этих выражения положительны, можно сделать вывод, что оптическая сила линзы в воде меньше, чем в воздухе:

$D_{вода} < D_{воздух}$

Таким образом, при погружении в воду оптическая сила собирающей стеклянной линзы уменьшается.

Ответ: Да, оптическая сила линзы изменилась, она уменьшилась.

69.53 [1635] Когда оптическая сила глаза больше: при рассматривании удалённых или близких предметов?

Дано:

Два случая наблюдения предмета глазом:
1. Предмет находится на большом (удалённом) расстоянии от глаза ($d_{уд} \to \infty$).
2. Предмет находится на близком расстоянии от глаза ($d_{бл}$).

Найти:

В каком из случаев оптическая сила глаза $D$ больше.

Решение:

Глаз человека представляет собой сложную оптическую систему, которую можно упрощенно рассматривать как собирающую линзу (хрусталик), создающую изображение на сетчатке. Расстояние от хрусталика до сетчатки $f'$ является практически постоянной величиной. Способность глаза изменять свою оптическую силу для фокусировки на объектах, находящихся на разном расстоянии, называется аккомодацией.

Связь между оптической силой линзы $D$, расстоянием до предмета $d$ и расстоянием до изображения $f'$ выражается формулой тонкой линзы:

$D = \frac{1}{F} = \frac{1}{d} + \frac{1}{f'}$

где $F$ — фокусное расстояние линзы.

Рассмотрим два случая:

1. При рассматривании удалённых предметов.

Расстояние до удалённого предмета $d_{уд}$ можно считать бесконечно большим ($d_{уд} \to \infty$). В этом случае величина, обратная расстоянию до предмета, стремится к нулю ($\frac{1}{d_{уд}} \to 0$).

Оптическая сила глаза $D_{уд}$ будет минимальной:

$D_{уд} = 0 + \frac{1}{f'} = \frac{1}{f'}$

В этом состоянии аккомодационные (цилиарные) мышцы глаза расслаблены, хрусталик имеет наиболее плоскую форму, и его оптическая сила минимальна.

2. При рассматривании близких предметов.

Расстояние до близкого предмета $d_{бл}$ — это конечная величина (например, для нормального глаза расстояние наилучшего зрения составляет около 25 см). Величина $\frac{1}{d_{бл}}$ будет положительным числом.

Оптическая сила глаза $D_{бл}$ для этого случая равна:

$D_{бл} = \frac{1}{d_{бл}} + \frac{1}{f'}$

Чтобы сфокусировать изображение на сетчатке, глазу необходимо увеличить свою оптическую силу. Это достигается за счет напряжения аккомодационных мышц, которые делают хрусталик более выпуклым (увеличивают его кривизну).

Сравнивая оптические силы в обоих случаях, мы видим, что:

$D_{бл} = \frac{1}{d_{бл}} + D_{уд}$

Поскольку $d_{бл}$ — положительная конечная величина, то $\frac{1}{d_{бл}} > 0$, и, следовательно, $D_{бл} > D_{уд}$.

Ответ: Оптическая сила глаза больше при рассматривании близких предметов.

$69.54^{0} [1636^{0}]$

Перед вами две пары одинаковых по виду и размеру очков. На одном рецепте к ним написано $+1,5Д$, а на другом — $+3Д$. Как, используя излучение лампы, определить, какие очки соответствуют рецепту $+1,5Д$? У каких очков масса стёкол больше?

Дано:

Оптическая сила первой пары очков: $D_1 = +1,5 \text{ дптр}$

Оптическая сила второй пары очков: $D_2 = +3 \text{ дптр}$

Найти:

1. Способ определения очков с $D = +1,5 \text{ дптр}$ с помощью лампы.

2. У какой пары очков масса стёкол больше.

Решение:

Оптическая сила линзы $D$ (в диоптриях) и её фокусное расстояние $F$ (в метрах) связаны обратной зависимостью:

$D = \frac{1}{F}$

Рассчитаем фокусные расстояния для обеих пар очков:

Для очков с $D_1 = +1,5 \text{ дптр}$ фокусное расстояние составляет:

$F_1 = \frac{1}{1,5} = \frac{2}{3} \text{ м} \approx 0,67 \text{ м}$

Для очков с $D_2 = +3 \text{ дптр}$ фокусное расстояние составляет:

$F_2 = \frac{1}{3} \text{ м} \approx 0,33 \text{ м}$

Из расчётов видно, что очки с меньшей оптической силой (+1,5Д) имеют большее фокусное расстояние.

Как, используя излучение лампы, определить, какие очки соответствуют рецепту +1,5Д?

Очки с положительной оптической силой являются собирающими линзами. Такую линзу можно использовать для получения изображения удалённого источника света, например, лампы. Если расположить за очками экран (лист бумаги или просто стену), то на нём можно получить чёткое изображение лампы. Расстояние от линзы до экрана, при котором изображение будет наиболее резким, равно фокусному расстоянию линзы (при условии, что лампа находится достаточно далеко).

Для определения очков с силой +1,5Д необходимо поочерёдно для каждой пары измерить таким способом их фокусное расстояние. Та пара очков, которая создаст резкое изображение лампы на большем расстоянии от себя (около 67 см), и будет соответствовать рецепту +1,5Д. Вторая пара очков даст изображение на меньшем расстоянии (около 33 см).

Ответ: Необходимо использовать очки как собирающую линзу для проекции изображения лампы на экран. Та пара очков, у которой расстояние от линзы до экрана при получении самого чёткого изображения будет больше, соответствует рецепту +1,5Д.

У каких очков масса стёкол больше?

Обе пары очков имеют линзы с положительной оптической силой, то есть выпуклые. Выпуклая линза имеет утолщение в центре и сужается к краям. Оптическая сила линзы напрямую зависит от кривизны её поверхностей: чем больше оптическая сила, тем сильнее изогнуты поверхности линзы. В условии сказано, что очки одинаковы по размеру, значит, диаметры их линз одинаковы. Линза с большей оптической силой (+3Д) будет иметь большую кривизну и, следовательно, будет толще в центре по сравнению с линзой +1,5Д при том же диаметре. Большая толщина при одинаковом диаметре означает больший объём материала. Если предположить, что обе пары линз изготовлены из одного и того же сорта стекла (с одинаковой плотностью), то линзы с большей оптической силой будут иметь и большую массу.

Ответ: Масса стёкол больше у очков с большей оптической силой, то есть +3Д.

69.55 [1637] В чём состоит сходство глаза с фотоаппаратом?

В чём различия между ними?

В чём состоит сходство глаза с фотоаппаратом?

Глаз и фотоаппарат — это оптические системы, которые по своему принципу действия имеют много общего. Их сходство заключается в наличии функционально аналогичных частей:

• Линза (объектив и хрусталик). В фотоаппарате установлена система линз, называемая объективом, которая собирает и фокусирует свет. В глазу эту роль выполняет хрусталик — биологическая двояковыпуклая линза.
• Диафрагма (радужная оболочка и зрачок). В фотоаппарате есть диафрагма, изменяющая размер своего отверстия для регулировки количества попадающего на сенсор света. В глазу аналогичную функцию выполняет радужная оболочка, которая, сокращаясь или расширяясь, изменяет диаметр зрачка.
• Светочувствительная поверхность (матрица/плёнка и сетчатка). В цифровом фотоаппарате изображение проецируется на светочувствительную матрицу, а в плёночном — на фотоплёнку. В глазу изображение формируется на сетчатке, которая состоит из миллионов светочувствительных клеток — палочек и колбочек.
• Камера-обскура (корпус и глазное яблоко). Внутренняя часть корпуса фотоаппарата имеет чёрное покрытие для поглощения рассеянного света. В глазу эту функцию выполняет сосудистая оболочка, выстилающая глазное яблоко изнутри и поглощающая излишки света.
• Тип изображения. И глаз, и фотоаппарат формируют на своей светочувствительной поверхности действительное, уменьшенное и перевёрнутое изображение наблюдаемого объекта.

Ответ: Сходство глаза и фотоаппарата состоит в том, что оба являются оптическими системами, имеющими аналогичные по функции компоненты: собирающую линзу (хрусталик/объектив), диафрагму для регуляции светового потока (радужная оболочка/диафрагма) и светочувствительную поверхность для регистрации изображения (сетчатка/матрица). Оба формируют действительное, перевёрнутое и уменьшенное изображение.

В чём различия между ними?

Несмотря на структурное сходство, между глазом и фотоаппаратом существуют фундаментальные различия:

• Способ фокусировки (аккомодация). Глаз настраивается на резкость путём изменения кривизны хрусталика с помощью специальных мышц, что меняет его фокусное расстояние. Фотоаппарат же фокусируется путём механического перемещения объектива (или его части) относительно светочувствительной поверхности, изменяя расстояние до неё.
• Светочувствительный элемент. Сетчатка глаза — это живая, сложная нейронная ткань, обладающая колоссальным динамическим диапазоном, способностью к адаптации и постоянному "обновлению". Матрица фотоаппарата — это электронное устройство с фиксированной чувствительностью (ISO) и разрешением.
• Обработка информации. Глаз передает электрические сигналы в мозг, который осуществляет сложнейшую обработку в реальном времени: переворачивает изображение, объединяет сигналы от двух глаз для стереоскопического эффекта, распознаёт образы, компенсирует движение и т.д. Фотоаппарат лишь записывает данные об изображении в файл, который затем может быть обработан отдельно.
• Природа устройства. Глаз — это биологический орган, продукт эволюции, состоящий из живых клеток и интегрированный в организм. Фотоаппарат — это искусственно созданное человеком механико-электронное устройство.
• Динамика и восприятие. Зрение — это непрерывный процесс, обеспечивающий широкое поле обзора, включая периферическое зрение. Фотоаппарат делает дискретные снимки (кадры) с чётко ограниченным полем зрения.

Ответ: Основные различия заключаются в способе фокусировки (изменение кривизны линзы у глаза против изменения расстояния до сенсора у фотоаппарата), природе светочувствительного элемента (живая адаптивная сетчатка против искусственной матрицы), а также в процессе обработки изображения (мгновенная комплексная обработка мозгом против записи данных в файл у фотоаппарата).

69.56 [1638] Если читать книгу, держа её очень близко или очень далеко от глаз, глаза быстро утомляются. Почему?

Утомление глаз при чтении на очень близком или очень далеком расстоянии связано с механизмом аккомодации глаза. Аккомодация — это способность глаза настраивать свою оптическую систему для четкого видения объектов на разном расстоянии. Эту функцию выполняет хрусталик, кривизна которого изменяется с помощью специальной, цилиарной (ресничной) мышцы.

1. Чтение на очень близком расстоянии

Чтобы сфокусироваться на близко расположенном объекте, например, на тексте книги, цилиарная мышца должна сократиться (напрячься). Это ослабляет натяжение связок, держащих хрусталик, и он, в силу своей эластичности, становится более выпуклым. Чем ближе объект, тем сильнее должно быть напряжение мышцы, чтобы увеличить оптическую силу хрусталика. Если держать книгу очень близко к глазам (ближе расстояния наилучшего зрения, которое для нормального глаза составляет около 25 см), цилиарная мышца вынуждена находиться в состоянии сильного и длительного напряжения. Как и любая другая мышца в теле, от постоянной нагрузки она утомляется, что и вызывает ощущение усталости и дискомфорта в глазах.

2. Чтение на очень далеком расстоянии

Когда глаз смотрит на удаленные объекты, цилиарная мышца, наоборот, расслаблена, а хрусталик имеет наиболее плоскую форму. Это состояние для глаза является состоянием покоя. Однако, если держать книгу слишком далеко, буквы становятся очень мелкими. Чтобы их разобрать, приходится напрягать зрение. Это напряжение связано уже не столько с аккомодацией, сколько с необходимостью различать мелкие детали на пределе возможностей сетчатки. Глаза и мозг прилагают дополнительные усилия для распознавания изображения, что также приводит к быстрому утомлению.

Таким образом, в обоих случаях глаза работают в неоптимальном, напряженном режиме. Существует "расстояние наилучшего зрения", при котором нагрузка на зрительный аппарат минимальна, что позволяет читать долго без усталости.

Ответ: При чтении на очень близком расстоянии глаза утомляются из-за постоянного и сильного напряжения цилиарной мышцы, отвечающей за фокусировку. При чтении на очень далеком расстоянии утомление вызвано необходимостью различать слишком мелкие буквы, что требует повышенной концентрации и напряжения для распознавания деталей изображения.

69.57 [1639] Сидящие рядом дальнозоркий и близорукий зрители пользуются одинаковыми театральными биноклями. У какого зрителя трубки бинокля выдвинуты больше?

Решение

Театральный бинокль представляет собой оптическую систему, известную как телескоп Галилея. Он состоит из двух линз: длиннофокусной собирающей линзы (объектива) и короткофокусной рассеивающей линзы (окуляра). Настройка резкости изображения в бинокле производится изменением расстояния $L$ между объективом и окуляром.

Цель настройки бинокля — создать такое изображение, которое наблюдатель сможет четко видеть своим глазом в расслабленном состоянии. Это означает, что окончательное изображение, формируемое биноклем, должно находиться в так называемой дальней точке ясного зрения наблюдателя.

Для человека с нормальным зрением дальняя точка находится в бесконечности. Чтобы он видел четкое изображение, лучи света, выходящие из окуляра, должны быть параллельны. В телескопе Галилея это достигается, когда задний фокус объектива совпадает с передним фокусом окуляра. Расстояние между линзами в этом случае равно $L_{норм} = F_{об} + F_{ок}$, где $F_{об}$ — фокусное расстояние объектива (положительное), а $F_{ок}$ — фокусное расстояние окуляра (отрицательное). Таким образом, $L_{норм} = F_{об} - |F_{ок}|$.

Дальнозоркий (гиперметропический) глаз в расслабленном состоянии является слишком слабой оптической системой. Чтобы сфокусировать параллельные лучи на сетчатке, ему необходимо напрягать глазные мышцы. Для комфортного наблюдения без напряжения дальнозоркому глазу требуется, чтобы на него падал сходящийся пучок лучей. Окуляр бинокля (рассеивающая линза) может создать сходящийся пучок лучей только в том случае, если расстояние между линзами $L$ будет больше, чем для нормального глаза. Математически это означает, что для дальнозоркого зрителя расстояние $L_{дальн}$ должно быть больше, чем $L_{норм}$.

Близорукий (миопический) глаз, наоборот, является слишком сильной оптической системой. Его дальняя точка ясного зрения находится на конечном расстоянии перед глазом. Чтобы такой глаз в расслабленном состоянии мог четко видеть изображение, лучи, выходящие из окуляра, должны быть расходящимися (причем степень расходимости должна быть больше, чем у параллельного пучка). Чтобы получить такой расходящийся пучок лучей, окуляр нужно приблизить к объективу. Это означает, что для близорукого зрителя расстояние $L_{близ}$ должно быть меньше, чем для нормального глаза $L_{норм}$.

Таким образом, мы получаем следующее соотношение для расстояний между линзами бинокля для разных наблюдателей:

$L_{дальн} > L_{норм} > L_{близ}$

Из этого следует, что дальнозоркий зритель должен выдвинуть трубки бинокля (увеличить расстояние $L$) сильнее, чем близорукий.

Ответ: трубки бинокля выдвинуты больше у дальнозоркого зрителя.

70.1 [н] Диапазон частот видимой части электромагнитного спектра составляет $(3,9-7,5)\cdot 10^{10}$ Гц. Определите диапазон длин волн света в вакууме; в воде, показатель преломления которой равен 1,33.

Дано:

Найти:

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$ связана с ее частотой $\nu$ и скоростью распространения $v$ в среде через формулу $\lambda = v/\nu$. Важно помнить, что при переходе света из одной среды в другую его частота $\nu$ остается неизменной.

в вакууме

Скорость распространения света в вакууме равна $c$. Длина волны в вакууме $\lambda_0$ вычисляется по формуле:

$\lambda_0 = \frac{c}{\nu}$

Из формулы видно, что длина волны обратно пропорциональна частоте. Это означает, что минимальной частоте диапазона ($\nu_{min}$) будет соответствовать максимальная длина волны ($\lambda_{0,max}$), а максимальной частоте ($\nu_{max}$) — минимальная длина волны ($\lambda_{0,min}$).

Рассчитаем границы диапазона длин волн в вакууме:

$\lambda_{0,max} = \frac{c}{\nu_{min}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{3,9 \cdot 10^{10} \text{ Гц}} \approx 0,00769 \text{ м} = 7,69 \text{ мм}$

$\lambda_{0,min} = \frac{c}{\nu_{max}} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{7,5 \cdot 10^{10} \text{ Гц}} = 0,004 \text{ м} = 4,0 \text{ мм}$

Округляя до двух значащих цифр, как в исходных данных, получаем диапазон (4,0–7,7) мм.

Ответ: диапазон длин волн света в вакууме составляет (4,0–7,7) мм.

в воде

При переходе света из вакуума в среду с показателем преломления $n$ его скорость распространения уменьшается и становится равной $v = c/n$. Так как частота $\nu$ не меняется, длина волны в воде $\lambda_w$ также уменьшается:

$\lambda_w = \frac{v}{\nu} = \frac{c/n}{\nu} = \frac{1}{n} \cdot \frac{c}{\nu} = \frac{\lambda_0}{n}$

Используем найденные ранее значения длин волн в вакууме для определения диапазона длин волн в воде.

$\lambda_{w,max} = \frac{\lambda_{0,max}}{n} = \frac{7,69 \text{ мм}}{1,33} \approx 5,78 \text{ мм}$

$\lambda_{w,min} = \frac{\lambda_{0,min}}{n} = \frac{4,0 \text{ мм}}{1,33} \approx 3,01 \text{ мм}$

Округляя до двух значащих цифр, получаем диапазон (3,0–5,8) мм.

Ответ: диапазон длин волн света в воде составляет (3,0–5,8) мм.

70.2 [н] Длина волны зелёного света в воздухе равна длине волны красного света в воде. На поверхность воды падает зелёный луч. Луч какого цвета увидит человек, открывающий глаза под водой?

Дано:

Длина волны зелёного света в воздухе $\lambda_{з,воздух}$.

Длина волны красного света в воде $\lambda_{к,вода}$.

Условие: $\lambda_{з,воздух} = \lambda_{к,вода}$.

На поверхность воды из воздуха падает зелёный луч.

Найти:

Цвет луча, который увидит наблюдатель под водой.

Решение:

Цвет света, который воспринимает человеческий глаз, определяется его частотой $\nu$. Частота является инвариантной характеристикой световой волны при переходе из одной среды в другую, так как она определяется только источником света.

В задаче на поверхность воды падает зелёный луч. Это означает, что частота этого света $\nu_з$ соответствует зелёной области видимого спектра. Когда этот луч проходит из воздуха в воду, его частота не изменяется. Меняются скорость распространения $v$ и длина волны $\lambda$, которые связаны с частотой соотношением $\lambda = v/\nu$. В воде скорость света меньше, чем в воздухе, поэтому и длина волны зелёного света в воде будет меньше, чем в воздухе.

Поскольку человеческий глаз и мозг интерпретируют цвет именно по частоте света, попадающего на сетчатку, наблюдатель под водой будет воспринимать свет с той же частотой $\nu_з$. Следовательно, он увидит зелёный цвет.

Первое условие задачи, что "длина волны зелёного света в воздухе равна длине волны красного света в воде" ($\lambda_{з,воздух} = \lambda_{к,вода}$), является отвлекающим фактом. Оно описывает соотношение между параметрами двух разных световых лучей, а не изменение одного луча. Это условие можно использовать для демонстрации связи между частотой, длиной волны и показателем преломления. Используя формулу $\lambda = \frac{c}{n\nu}$, где $c$ – скорость света в вакууме, а $n$ – показатель преломления среды, получим:

$\frac{c}{n_{воздух}\nu_з} = \frac{c}{n_{вода}\nu_к}$

Отсюда следует, что $n_{воздух}\nu_з = n_{вода}\nu_к$. Так как показатель преломления воды $n_{вода} \approx 1.33$, а воздуха $n_{воздух} \approx 1$, то $\nu_з \approx 1.33 \nu_к$. Это подтверждает, что частота зелёного света выше частоты красного, но не влияет на ответ на основной вопрос задачи.

Ответ: Человек увидит зелёный луч.

70.3 [н] Луч жёлтого света проходит через 3 среды так, как показано на рисунке IX-36, а, б. Сравните частоты, скорости распространения и длины волн в трёх средах для каждого из рисунков а и б. Какой цвет будет у луча в каждой из трёх сред?

Для решения задачи воспользуемся основными положениями волновой оптики. Обозначим характеристики света (частоту, скорость, длину волны и показатель преломления) в трёх средах индексами 1, 2 и 3 соответственно.

• Частота ($ \nu $) и цвет. При переходе света из одной среды в другую его частота не меняется, так как она определяется источником света. Цвет, воспринимаемый глазом, напрямую зависит от частоты. Следовательно, цвет луча останется неизменным во всех трёх средах.
• Скорость распространения ($ v $) и показатель преломления ($ n $). Скорость света в среде связана с абсолютным показателем преломления этой среды соотношением $ v = c/n $, где $ c $ — скорость света в вакууме. Отсюда следует, что скорость света в среде обратно пропорциональна её показателю преломления: чем больше $ n $, тем меньше $ v $.
• Длина волны ($ \lambda $). Длина волны, скорость и частота связаны формулой $ \lambda = v/\nu $. Поскольку частота $ \nu $ постоянна, длина волны прямо пропорциональна скорости распространения света $ v $. Таким образом, длина волны также обратно пропорциональна показателю преломления: чем больше $ n $, тем меньше $ \lambda $.
• Закон преломления света. Согласно закону Снеллиуса, $ n_1 \sin\alpha_1 = n_2 \sin\alpha_2 $, где $ \alpha $ — угол между лучом и нормалью к границе раздела сред. Из закона следует, что при переходе в оптически более плотную среду (с большим $ n $) луч света отклоняется, приближаясь к нормали (угол уменьшается), а при переходе в оптически менее плотную среду (с меньшим $ n $) — удаляется от нормали (угол увеличивается).

Так как сами рисунки в условии отсутствуют, мы рассмотрим два возможных типичных сценария преломления луча, обозначив их как а и б.

Решение

а

Предположим, на рисунке а луч света, переходя из среды 1 в среду 2, приближается к нормали, а при переходе из среды 2 в среду 3 удаляется от нормали, причём итоговый угол преломления в среде 3 оказывается меньше первоначального угла падения в среде 1.

Анализ хода луча позволяет сравнить показатели преломления:

• Переход 1 → 2: луч приближается к нормали, значит, среда 2 оптически плотнее среды 1. $ n_2 > n_1 $.
• Переход 2 → 3: луч удаляется от нормали, значит, среда 3 оптически менее плотная, чем среда 2. $ n_3 < n_2 $.
• Сравнение сред 1 и 3: итоговый угол в среде 3 меньше, чем в среде 1, значит, среда 3 оптически плотнее среды 1. $ n_3 > n_1 $.

Объединяя неравенства, получаем: $ n_2 > n_3 > n_1 $.

Теперь сравним искомые величины:

• Частоты: одинаковы во всех средах, $ \nu_1 = \nu_2 = \nu_3 $.
• Скорости: обратно пропорциональны показателям преломления, поэтому $ v_1 > v_3 > v_2 $.
• Длины волн: прямо пропорциональны скоростям, поэтому $ \lambda_1 > \lambda_3 > \lambda_2 $.
• Цвет: определяется частотой, поэтому во всех трёх средах луч остаётся жёлтым.

Ответ: Частоты равны: $ \nu_1 = \nu_2 = \nu_3 $. Скорости распространения соотносятся как $ v_1 > v_3 > v_2 $. Длины волн соотносятся как $ \lambda_1 > \lambda_3 > \lambda_2 $. Цвет луча в каждой из трёх сред — жёлтый.

б

Предположим, на рисунке б луч света, переходя из среды 1 в среду 2, удаляется от нормали, а при переходе из среды 2 в среду 3 приближается к нормали, причём итоговый угол преломления в среде 3 оказывается больше первоначального угла падения в среде 1.

Анализ хода луча позволяет сравнить показатели преломления:

• Переход 1 → 2: луч удаляется от нормали, значит, среда 1 оптически плотнее среды 2. $ n_1 > n_2 $.
• Переход 2 → 3: луч приближается к нормали, значит, среда 3 оптически плотнее среды 2. $ n_3 > n_2 $.
• Сравнение сред 1 и 3: итоговый угол в среде 3 больше, чем в среде 1, значит, среда 3 оптически менее плотная, чем среда 1. $ n_3 < n_1 $.

Объединяя неравенства, получаем: $ n_1 > n_3 > n_2 $.

Теперь сравним искомые величины:

• Частоты: одинаковы во всех средах, $ \nu_1 = \nu_2 = \nu_3 $.
• Скорости: обратно пропорциональны показателям преломления, поэтому $ v_2 > v_3 > v_1 $.
• Длины волн: прямо пропорциональны скоростям, поэтому $ \lambda_2 > \lambda_3 > \lambda_1 $.
• Цвет: определяется частотой, поэтому во всех трёх средах луч остаётся жёлтым.

Ответ: Частоты равны: $ \nu_1 = \nu_2 = \nu_3 $. Скорости распространения соотносятся как $ v_2 > v_3 > v_1 $. Длины волн соотносятся как $ \lambda_2 > \lambda_3 > \lambda_1 $. Цвет луча в каждой из трёх сред — жёлтый.

70.4 [н] Свет с частотой 500 ТГц (один тераГерц (1 ТГц) равен $1 \cdot 10^{12}$ Гц) распространяется в некоторой однородной среде со скоростью $2 \cdot 10^8$ м/с. Чему равна длина волны этого света в данной среде? Чему равна частота и длина этой волны в вакууме? Чему равен абсолютный показатель преломления среды для луча данной частоты? Какой цвет имеет этот свет в вакууме; в данной среде?

Дано:

Частота света, $\nu = 500 \text{ ТГц}$

Скорость света в среде, $v = 2 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Скорость света в вакууме (физическая константа), $c \approx 3 \cdot 10^8 \text{ м/с}$

Перевод в систему СИ:

$\nu = 500 \text{ ТГц} = 500 \cdot 10^{12} \text{ Гц} = 5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Найти:

$\lambda_{среда}$ — длину волны в данной среде

$\nu_{вакуум}$ — частоту волны в вакууме

$\lambda_{вакуум}$ — длину волны в вакууме

$n$ — абсолютный показатель преломления среды

Цвет света в вакууме и в среде

Решение:

Чему равна длина волны этого света в данной среде?

Длина волны $\lambda$, скорость распространения волны $v$ и ее частота $\nu$ связаны соотношением $v = \lambda \cdot \nu$. Важно помнить, что при переходе света из одной среды в другую его частота остается неизменной. Таким образом, частота света в рассматриваемой среде такая же, как и в вакууме.

Выразим длину волны в среде:

$\lambda_{среда} = \frac{v}{\nu}$

Подставим числовые значения:

$\lambda_{среда} = \frac{2 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} = 0.4 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 400 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 400 \text{ нм}$

Ответ: Длина волны света в данной среде равна $400 \text{ нм}$.

Чему равна частота и длина этой волны в вакууме?

Частота света — это его инвариантная характеристика, она не изменяется при переходе между средами. Следовательно, частота света в вакууме равна исходной частоте.

$\nu_{вакуум} = \nu = 500 \text{ ТГц} = 5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$

Длину волны в вакууме ($\lambda_{вакуум}$) найдем, используя скорость света в вакууме $c$:

$\lambda_{вакуум} = \frac{c}{\nu_{вакуум}}$

Подставим числовые значения:

$\lambda_{вакуум} = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}} = 0.6 \cdot 10^{-6} \text{ м} = 600 \cdot 10^{-9} \text{ м} = 600 \text{ нм}$

Ответ: Частота света в вакууме равна $500 \text{ ТГц}$ ($5 \cdot 10^{14} \text{ Гц}$), а длина волны — $600 \text{ нм}$.

Чему равен абсолютный показатель преломления среды для луча данной частоты?

Абсолютный показатель преломления среды $n$ по определению равен отношению скорости света в вакууме $c$ к фазовой скорости света в данной среде $v$.

$n = \frac{c}{v}$

Подставим значения скоростей:

$n = \frac{3 \cdot 10^8 \text{ м/с}}{2 \cdot 10^8 \text{ м/с}} = 1.5$

Это же значение можно получить, разделив длину волны в вакууме на длину волны в среде:

$n = \frac{\lambda_{вакуум}}{\lambda_{среда}} = \frac{600 \text{ нм}}{400 \text{ нм}} = 1.5$

Ответ: Абсолютный показатель преломления среды равен $1.5$.

Какой цвет имеет этот свет в вакууме; в данной среде?

Цвет, который воспринимает человеческий глаз, определяется частотой световой волны, так как от частоты зависит энергия фотонов ($E = h\nu$), на которую реагируют фоторецепторы сетчатки. Поскольку частота света не меняется при переходе из вакуума в среду (и наоборот), то и воспринимаемый цвет света остается неизменным.

Для определения конкретного цвета принято использовать значение длины волны в вакууме. В нашем случае $\lambda_{вакуум} = 600 \text{ нм}$. Эта длина волны соответствует оранжевому цвету в видимом спектре (диапазон оранжевого примерно $590–620 \text{ нм}$).

Ответ: И в вакууме, и в данной среде свет имеет оранжевый цвет.

70.5 [н] Сравните показатели преломления: $n_1$ — синего и $n_2$ — жёлтого света при дисперсии в стеклянной призме. Какой из лучей распространяется с большей скоростью? У какого из лучей меньше длина волны?

Решение

Сравните показатели преломления: $n_1$ — синего и $n_2$ — жёлтого света при дисперсии в стеклянной призме.

Дисперсия света — это явление зависимости показателя преломления вещества от частоты (или длины волны) света. Для стеклянной призмы, как и для большинства прозрачных сред, характерна нормальная дисперсия. Это означает, что показатель преломления $n$ увеличивается с увеличением частоты света $\nu$ (и, соответственно, с уменьшением длины волны $\lambda$).

В спектре видимого света синий свет имеет большую частоту и меньшую длину волны, чем жёлтый свет. Обозначим показатель преломления для синего света как $n_1$, а для жёлтого — как $n_2$. Поскольку частота синего света больше частоты жёлтого, то и показатель преломления для синего света будет больше.

Таким образом, $n_1 > n_2$.

Ответ: Показатель преломления для синего света больше, чем для жёлтого: $n_1 > n_2$.

Какой из лучей распространяется с большей скоростью?

Абсолютный показатель преломления среды $n$ определяется как отношение скорости света в вакууме $c$ к скорости света в этой среде $v$: $n = \frac{c}{v}$

Из этой формулы можно выразить скорость света в среде: $v = \frac{c}{n}$

Эта зависимость показывает, что скорость света в среде обратно пропорциональна показателю преломления: чем больше $n$, тем меньше $v$.

Поскольку из предыдущего пункта мы знаем, что $n_1 > n_2$, то для скоростей синего ($v_1$) и жёлтого ($v_2$) лучей в призме будет выполняться обратное соотношение: $v_1 < v_2$.

Ответ: Жёлтый луч распространяется с большей скоростью.

У какого из лучей меньше длина волны?

Видимый спектр света представляет собой последовательность цветов, упорядоченных по длине волны (или частоте). Порядок цветов от наибольшей длины волны к наименьшей выглядит так: красный, оранжевый, жёлтый, зелёный, голубой, синий, фиолетовый.

Сравнивая положение синего и жёлтого цветов в этом спектре, мы видим, что синий цвет расположен ближе к коротковолновому (фиолетовому) концу спектра, чем жёлтый.

Ответ: У синего луча меньше длина волны.