Страница 236 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

69.6 [1588] Как, используя в качестве источника света Солнце, приблизительно определить фокусное расстояние собирающей линзы?

69.6 [1588]

Решение

Чтобы приблизительно определить фокусное расстояние собирающей линзы, используя Солнце в качестве источника света, необходимо выполнить следующие шаги, основанные на свойствах линзы и удаленности Солнца.

1. Теоретическое обоснование. Солнце находится на очень большом расстоянии от Земли. Из-за этого световые лучи, приходящие от него, можно считать практически параллельными друг другу. Собирающая линза обладает свойством преломлять параллельный пучок лучей, идущий вдоль её главной оптической оси, таким образом, что после прохождения через линзу все лучи собираются в одной точке. Эта точка называется главным фокусом линзы, а расстояние от оптического центра линзы до главного фокуса называется фокусным расстоянием ($F$).

Формула тонкой линзы связывает расстояние от линзы до предмета ($d$), расстояние от линзы до изображения ($f$) и фокусное расстояние ($F$):

$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$

Поскольку расстояние до Солнца ($d$) очень велико ($d \rightarrow \infty$), величина, обратная этому расстоянию, стремится к нулю ($\frac{1}{d} \rightarrow 0$). Тогда формула упрощается:

$0 + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, откуда следует, что $f \approx F$.

Это означает, что изображение очень удаленного объекта (Солнца) будет формироваться в фокальной плоскости линзы, то есть на расстоянии, равном её фокусному расстоянию.

2. Практический метод.

• Возьмите собирающую линзу и направьте её на Солнце.
• За линзой расположите экран (например, лист бумаги, стену или любую другую поверхность).
• Перемещайте экран вдоль главной оптической оси (линии, перпендикулярной плоскости линзы и проходящей через её центр) ближе или дальше от линзы.
• Найдите такое положение экрана, при котором на нем получится наиболее чёткое, маленькое и яркое изображение Солнца в виде светящейся точки. Это и будет фокус линзы.
• Измерьте расстояние от центра линзы до экрана с помощью линейки или рулетки. Это измеренное расстояние и будет приблизительным значением фокусного расстояния линзы.

Внимание: Нельзя смотреть на Солнце через линзу, так как это может привести к необратимому повреждению глаз из-за высокой концентрации солнечной энергии.

Ответ: Необходимо направить линзу на Солнце и получить на экране (например, листе бумаги) его чёткое изображение в виде яркой точки. Расстояние от линзы до экрана, измеренное линейкой, будет приблизительно равно фокусному расстоянию линзы.

69.7 [1589] Какой вред в солнечный день могут причинить листьям растений попавшие на них капли воды?

Решение

В солнечный день капли воды, находящиеся на листьях растений, могут нанести им вред, функционируя как маленькие собирающие линзы. Каждая капля воды, благодаря силам поверхностного натяжения, приобретает выпуклую форму. Когда капля лежит на плоской поверхности листа, она образует своего рода плоско-выпуклую линзу.

Солнечные лучи, идущие от находящегося очень далеко Солнца, можно считать практически параллельным пучком света. Проходя через каплю-линзу, эти параллельные лучи преломляются и сходятся (фокусируются) в одной точке, называемой фокусом.

Если фокусное расстояние такой водяной линзы оказывается таковым, что фокус располагается непосредственно на поверхности листа или очень близко к ней, то в этой маленькой точке концентрируется значительное количество солнечной энергии. Эта высокая концентрация энергии вызывает сильный локальный нагрев растительной ткани, что может привести к термическому ожогу. В результате клетки растения в этом месте повреждаются или погибают, и на листе появляется небольшое обесцвеченное или бурое пятно. По этой причине не рекомендуется поливать растения днём под прямыми солнечными лучами, особенно те, у которых вода легко задерживается на листьях.

Ответ: Капли воды на листьях в солнечный день действуют как маленькие собирающие линзы, которые фокусируют солнечные лучи в одну точку на поверхности листа. Это приводит к сильному локальному нагреву и может вызвать термический ожог растительных тканей.

69.8 [1590] На рисунке IX-49 изображено положение собирающей линзы L и её оптической оси MN. Отметьте положения основных точек оси: оптического центра O, фокуса F и двойных фокусов 2F линзы, приняв $OF = 1,5 \text{ см}$.

(Рисунок сделайте в тетради.)

Рис. IX-49

Дано:

Собирающая линза L

Главная оптическая ось MN

Фокусное расстояние $f = OF = 1,5$ см

Найти:

Отметить на оси MN положение оптического центра O, фокуса F и двойного фокуса 2F.

Решение:

Для решения задачи необходимо определить и отметить на главной оптической оси MN ключевые точки для собирающей линзы L.

1. Оптический центр O — это точка, расположенная на главной оптической оси в центре линзы. На схеме это точка пересечения линии, обозначающей линзу (L), и главной оптической оси (MN). Любой луч, проходящий через оптический центр, не изменяет своего направления.

2. Главный фокус F — это точка на главной оптической оси, в которой после преломления в линзе собираются лучи, падающие на неё параллельно этой оси. У линзы есть два главных фокуса, расположенных симметрично относительно оптического центра на фокусном расстоянии $f$. По условию, фокусное расстояние $f = 1,5$ см. Следовательно, необходимо отложить от точки O по 1,5 см вправо и влево по оси MN, чтобы отметить оба фокуса.

3. Двойной фокус 2F — это точка на главной оптической оси, расстояние до которой от оптического центра равно удвоенному фокусному расстоянию ($2f$). Как и фокусы, двойные фокусы расположены симметрично с двух сторон от линзы.

Рассчитаем расстояние до двойного фокуса:

$O(2F) = 2 \cdot f = 2 \cdot 1,5 \text{ см} = 3,0 \text{ см}$

Отложим от точки O по 3,0 см вправо и влево по оси MN, чтобы отметить точки двойного фокуса.

Выполним построение (рисунок является схематичным и служит для демонстрации расположения точек):

Ответ:

Оптический центр O находится в точке пересечения линзы L и главной оптической оси MN. Фокусы F находятся на главной оптической оси на расстоянии 1,5 см по обе стороны от оптического центра O. Двойные фокусы 2F находятся на главной оптической оси на расстоянии 3,0 см по обе стороны от оптического центра O. Схематическое расположение точек представлено на рисунке в решении.

69.9 [1591] Какой из трёх лучей — 2, 3 или 4, изображённых на рисунке IX-50 штриховыми линиями, является продолжением светового луча 1 после преломления его в линзе L1; в линзе L2?

a)

б) Рис. IX-50

Решение

Для определения хода луча после преломления в линзе необходимо сначала определить тип линзы по её условному обозначению, а затем применить соответствующее правило построения хода лучей. На обоих рисунках падающий луч 1 параллелен главной оптической оси MN. Главная оптическая ось — это прямая, проходящая через центры кривизны поверхностей линзы. Оптический центр линзы O лежит на пересечении линзы и главной оптической оси.

Линза L1, изображённая на рисунке а), является собирающей линзой. Это определяется по её условному обозначению, где стрелки на концах указывают наружу от главной оптической оси. Согласно правилу построения хода лучей в собирающей линзе, луч, падающий на неё параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через её задний главный фокус (точку на главной оптической оси за линзой).

Проанализируем возможные пути преломлённого луча:

• Луч 2 отклоняется вверх, удаляясь от главной оптической оси. Такое преломление характерно для рассеивающей линзы.
• Луч 3 продолжает своё движение без изменения направления. Так распространяется луч, проходящий через оптический центр линзы, но луч 1 падает на линзу выше оптического центра.
• Луч 4 преломляется, отклоняясь вниз к главной оптической оси, и пересекает её в некоторой точке. Эта точка является главным фокусом линзы. Такое поведение полностью соответствует правилу для собирающей линзы.

Таким образом, после преломления в собирающей линзе L1 луч 1 пойдёт по траектории луча 4.

Ответ: луч 4.

Линза L2, изображённая на рисунке б), является рассеивающей линзой. Это определяется по её условному обозначению, где стрелки на концах указывают внутрь к главной оптической оси. Согласно правилу построения хода лучей в рассеивающей линзе, луч, падающий на неё параллельно главной оптической оси, после преломления отклоняется от оси так, что его продолжение, проведённое в обратном направлении, проходит через передний (мнимый) главный фокус линзы.

Проанализируем возможные пути преломлённого луча:

• Луч 2 отклоняется вверх, удаляясь от главной оптической оси. Если продлить этот луч в обратном направлении (влево от линзы), он пересечёт главную оптическую ось в точке, которая является мнимым фокусом. Это поведение соответствует правилу для рассеивающей линзы.
• Луч 3 продолжает движение без изменения направления, что неверно для луча, не проходящего через оптический центр.
• Луч 4 преломляется, отклоняясь к главной оптической оси. Такое преломление характерно для собирающей линзы.

Таким образом, после преломления в рассеивающей линзе L2 луч 1 пойдёт по траектории луча 2.

Ответ: луч 2.

69.10 [1592] Из точки S на линзу падают четыре луча (рис. IX-51). Начертите дальнейший ход лучей 1 и 2 после преломления в линзе.

Рис. IX-51

Решение

На рисунке изображена тонкая собирающая линза L (это можно определить по стрелкам на ее концах, а также по ходу луча 4, который после преломления пересекает главную оптическую ось), ее главная оптическая ось MN и точечный источник света S. Из точки S на линзу падают четыре луча. Задача состоит в том, чтобы построить дальнейший ход лучей 1 и 2 после их преломления в линзе.

Основной принцип построения изображений в линзах заключается в том, что все лучи, исходящие из одной точки-источника (S), после преломления в линзе пересекутся в одной точке (S'), которая называется изображением источника. Чтобы найти положение этой точки изображения S', достаточно проследить ход двух любых лучей из исходного пучка. В условии задачи уже показан ход лучей 3 и 4 после преломления, что позволяет нам определить положение точки S'.

1. Луч 4 исходит из источника S и распространяется параллельно главной оптической оси MN. Согласно правилу построения лучей в собирающей линзе, после преломления этот луч должен пройти через ее главный фокус F. Следовательно, точка, в которой преломленный луч 4 пересекает ось MN, является главным фокусом линзы F.
2. Луч 3 исходит из источника S и проходит через оптический центр линзы O. Луч, проходящий через оптический центр тонкой линзы, не претерпевает преломления и продолжает свое распространение без изменения направления.
3. Точка, в которой пересекаются преломленный луч 4 и луч 3, и есть искомое изображение источника S. Обозначим эту точку S'.
4. Поскольку все лучи, вышедшие из точки S, должны собраться в точке ее изображения S', то лучи 1 и 2 после преломления в линзе также должны пройти через эту точку S'.

Таким образом, алгоритм построения хода лучей 1 и 2 следующий:

1. Находим точку пересечения уже построенных преломленных лучей, исходящих из лучей 3 и 4. Это точка S'.
2. Соединяем прямой линией точку падения луча 1 на линзу с точкой S'. Эта линия представляет собой ход луча 1 после преломления.
3. Аналогично, соединяем прямой линией точку падения луча 2 на линзу с точкой S'. Эта линия представляет собой ход луча 2 после преломления.

На чертеже ниже показано полное построение хода всех четырех лучей. Красным цветом выделен дальнейший ход лучей 1 и 2, который требовалось найти.

Как видно из построения, после преломления в линзе лучи 1 и 2 пересекаются в той же точке S', что и лучи 3 и 4, формируя действительное, перевернутое и уменьшенное изображение источника S.

Ответ:

Для построения дальнейшего хода лучей 1 и 2 после преломления в линзе необходимо найти точку изображения S'. Эта точка является пересечением преломленных лучей, соответствующих любым двум лучам, исходящим из источника S. Используя данные в задаче лучи 3 и 4, находим их точку пересечения S' после прохождения через линзу. Затем, зная, что все лучи от источника S собираются в точке S', проводим прямые от точек падения лучей 1 и 2 на линзу через точку S'. Эти прямые и представляют собой дальнейший ход лучей 1 и 2.

69.11 [1593] На рисунке IX-52 показан ход двух лучей, падающих на тонкую линзу с фокусным расстоянием $OF$ из светящейся точки $S$. Начертите дальнейший ход этих лучей и найдите положение изображения ($S'$) источника света $S$.

$S$

$1$

$M$

$F$

$2$

$N$

Рис. IX-52

Решение

Для построения изображения $S'$ светящейся точки $S$, создаваемого тонкой линзой, необходимо проследить дальнейший ход лучей после их преломления в линзе. В данном случае линза является собирающей, что видно по стрелкам на её обозначении и по ходу луча через фокус. На рисунке показаны два характерных луча:

1. Луч 1 исходит из точки $S$ и падает на линзу параллельно главной оптической оси $MN$. По правилам геометрической оптики, после прохождения через собирающую линзу такой луч преломляется и проходит через её задний главный фокус $F'$. Задний фокус $F'$ расположен на главной оптической оси симметрично переднему фокусу $F$ относительно оптического центра линзы.
2. Луч 2 исходит из точки $S$ и проходит через передний главный фокус линзы $F$ до падения на линзу. После преломления в собирающей линзе такой луч будет распространяться параллельно главной оптической оси $MN$.

Изображение точки $S$, которое мы обозначим как $S'$, находится в точке пересечения преломленных лучей. Чтобы найти эту точку, выполним графическое построение, продолжив ход лучей 1 и 2 за линзой согласно указанным правилам.

На представленном выше чертеже показан дальнейший ход лучей 1 и 2 и искомое изображение $S'$.

Ответ:

Дальнейший ход лучей построен на рисунке. Луч 1, который до линзы был параллелен главной оптической оси, после преломления прошел через задний фокус $F'$. Луч 2, который до линзы проходил через передний фокус $F$, после преломления пошел параллельно главной оптической оси. Положение изображения $S'$ — это точка пересечения преломленных лучей. Изображение является действительным (так как образовано пересечением самих лучей), находится по другую сторону от линзы и является перевёрнутым по отношению к точке $S$ относительно главной оптической оси.

69.12 [1594] На рисунке IX-53 показан ход светового луча, падающего на рассеивающую линзу. Выполнив необходимое построение, найдите положение главного фокуса линзы и положение изображения ($S'$) светящейся точки $S$. Какое это изображение: действительное или мнимое?

Рис. IX-53

Решение

Для ответа на вопросы задачи необходимо выполнить геометрические построения, основанные на свойствах рассеивающей линзы.

1. Нахождение положения главного фокуса линзы (F)

В условии задачи показан луч света, который выходит из точки S, идет параллельно главной оптической оси MN и падает на рассеивающую линзу. По правилу хода лучей в рассеивающей линзе, луч, параллельный главной оптической оси, после преломления в линзе идет по такому направлению, что его продолжение, построенное в обратную сторону, проходит через главный фокус F линзы. Этот фокус называют передним, так как он находится со стороны падения света.
Чтобы найти положение фокуса F, необходимо продолжить преломленный луч (который на рисунке отклоняется вверх и вправо) пунктирной линией в обратном направлении до пересечения с главной оптической осью MN. Точка этого пересечения и является главным фокусом F линзы.

2. Нахождение положения изображения (S') светящейся точки S

Для построения изображения S' точки S необходимо использовать как минимум два луча, исходящих из S.
Первый луч — это луч, который дан в условии: он идет параллельно главной оптической оси. После прохождения через линзу его продолжение проходит через главный фокус F, который мы нашли в предыдущем пункте.
Второй луч — это луч, который можно провести из точки S через оптический центр линзы O (точка пересечения линзы с главной оптической осью MN). Этот луч проходит через линзу, не преломляясь и не изменяя своего направления.
Изображение S' точки S будет находиться в точке пересечения продолжений лучей, прошедших через линзу. В данном случае это будет точка пересечения продолжения первого луча (линия, проходящая через F) и второго луча (проходящего через O без преломления). Точка S' будет расположена на той же стороне от линзы, что и предмет S, между фокусом F и оптическим центром O.

3. Определение характера изображения

Изображение S' получается в результате пересечения продолжения одного преломленного луча и действительного второго луча. Поскольку для нахождения точки изображения мы использовали продолжение луча, а не пересечение самих преломленных лучей, такое изображение является мнимым. Мнимые изображения нельзя получить на экране, их можно только увидеть, глядя в линзу.

Ответ: Главный фокус F линзы находится на главной оптической оси со стороны источника света, в точке пересечения оси с продолжением преломленного луча. Изображение S' светящейся точки S находится между главным фокусом F и линзой; оно является мнимым.