Номер 68.36, страница 234 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 68. Преломление света. Глава 9. Оптические явления - номер 68.36, страница 234.

68.36 [н] Каким допустимо большим может быть угол при вершине трёхгранной равнобедренной призмы (см. рис. IX-43), чтобы при нормальном падении на боковую грань луч света испытывал полное отражение от нижней грани призмы? (Предельный угол полного внутреннего отражения для сред стекло—воздух равен $42^\circ$.) Поворотной или оборачивающей является призма такого типа?

Рис. IX-43

Каким допустимо большим может быть угол при вершине трёхгранной равнобедренной призмы, чтобы при нормальном падении на боковую грань луч света испытывал полное отражение от нижней грани призмы?

Дано:

Предельный угол полного внутреннего отражения для сред стекло-воздух $\alpha_{пр} = 42^\circ$.

Найти:

Максимальный угол при вершине призмы $\phi_{max}$.

Решение:

Пусть угол при вершине равнобедренной призмы равен $\phi$, а углы при основании равны $\beta$. Сумма углов в треугольнике составляет $180^\circ$, поэтому для сечения призмы справедливо соотношение:

$\phi + 2\beta = 180^\circ$

Отсюда выразим угол при основании $\beta$ через угол при вершине $\phi$:

$\beta = \frac{180^\circ - \phi}{2} = 90^\circ - \frac{\phi}{2}$

По условию, луч света падает на боковую грань нормально, то есть перпендикулярно этой грани. Следовательно, угол падения на первую грань равен $0^\circ$, и луч входит в призму без преломления, сохраняя свое направление.

Далее луч падает на нижнюю грань (основание) призмы. Угол падения $\alpha$ на эту грань равен углу между лучом и нормалью к основанию. Из геометрии треугольника, образованного лучом, боковой гранью и основанием, следует, что угол между лучом (перпендикулярным боковой грани) и основанием равен $90^\circ - \beta$. Тогда угол падения $\alpha$ на основание, как угол между лучом и нормалью к основанию, равен:

$\alpha = 90^\circ - (90^\circ - \beta) = \beta$

Для того чтобы на нижней грани произошло полное внутреннее отражение (ПВО), необходимо, чтобы угол падения $\alpha$ был не меньше предельного угла ПВО $\alpha_{пр}$:

$\alpha \ge \alpha_{пр}$

Заменяя $\alpha$ на $\beta$, а $\beta$ на выражение через $\phi$, получаем неравенство для угла $\phi$:

$90^\circ - \frac{\phi}{2} \ge \alpha_{пр}$

Чтобы найти максимальное значение $\phi$, решим это неравенство относительно $\phi$:

$\frac{\phi}{2} \le 90^\circ - \alpha_{пр}$

$\phi \le 2(90^\circ - \alpha_{пр})$

Максимально допустимый угол при вершине $\phi_{max}$ соответствует знаку равенства:

$\phi_{max} = 2(90^\circ - \alpha_{пр})$

Подставим заданное значение предельного угла $\alpha_{пр} = 42^\circ$:

$\phi_{max} = 2(90^\circ - 42^\circ) = 2 \cdot 48^\circ = 96^\circ$

Ответ: Допустимо больший угол при вершине призмы может быть $96^\circ$.

Поворотной или оборачивающей является призма такого типа?

Решение:

Проследим дальнейший ход луча после отражения от основания. Угол отражения равен углу падения, то есть $\beta$. Геометрический анализ показывает, что отраженный от основания луч падает на вторую боковую грань перпендикулярно. Следовательно, он выходит из призмы без преломления.

Таким образом, ход луча в призме характеризуется одним полным внутренним отражением. Оптические системы, которые формируют изображение с помощью нечетного числа отражений (в данном случае одного), создают зеркально-обращенное, или инвертированное, изображение. Системы с четным числом отражений являются поворотными, то есть они поворачивают изображение, но не меняют его хиральность (не превращают "правое" в "левое").

Поскольку в данной призме происходит однократное отражение, она инвертирует изображение.

Ответ: Призма такого типа является оборачивающей.