Номер 69.3, страница 235 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 69. Линзы. Глава 9. Оптические явления - номер 69.3, страница 235.

69.3 [1585] Линзы, изображённые на рисунке IX-47, изготовлены из одинакового стекла. Какая из них имеет меньшее фокусное расстояние?

Рис. IX-47

Дано:

На рисунке изображены две двояковыпуклые линзы (1 и 2). Линзы изготовлены из одинакового материала, следовательно, их показатели преломления равны: $n_1 = n_2 = n$. Линзы находятся в одинаковой среде (например, в воздухе), поэтому показатель преломления среды для обеих линз также одинаков: $n_{среды1} = n_{среды2} = n_{среды}$. Из рисунка видно, что линза 2 имеет большую кривизну поверхностей (более выпуклая), чем линза 1.

Найти:

Какая из линз, 1 или 2, имеет меньшее фокусное расстояние $F$.

Решение:

Оптическая сила $D$ тонкой линзы связана с ее фокусным расстоянием $F$ соотношением $D = \frac{1}{F}$. В свою очередь, оптическая сила определяется по формуле тонкой линзы:

$D = (\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1) \cdot (\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$

Здесь $n_{линзы}$ — абсолютный показатель преломления материала линзы, $n_{среды}$ — абсолютный показатель преломления окружающей среды, а $R_1$ и $R_2$ — радиусы кривизны сферических поверхностей линзы.

Согласно условию, обе линзы изготовлены из одного и того же материала и находятся в одной и той же среде. Это означает, что множитель $(\frac{n_{линзы}}{n_{среды}} - 1)$ для обеих линз имеет одинаковое значение.

Таким образом, оптическая сила линзы $D$ в данном случае зависит только от суммы обратных радиусов кривизны ее поверхностей $(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$. Эта величина характеризует общую кривизну линзы.

Из рисунка видно, что линза 2 является более выпуклой, то есть ее поверхности имеют большую кривизну по сравнению с линзой 1. Большая кривизна поверхности соответствует меньшему радиусу кривизны. Если мы обозначим радиусы кривизны линзы 1 как $R_{1,1}$ и $R_{1,2}$, а линзы 2 — как $R_{2,1}$ и $R_{2,2}$, то будут выполняться неравенства: $R_{2,1} < R_{1,1}$ и $R_{2,2} < R_{1,2}$.

Так как радиусы кривизны у линзы 2 меньше, то обратные им величины будут больше. Следовательно, и сумма этих величин для линзы 2 будет больше, чем для линзы 1:

$(\frac{1}{R_{2,1}} + \frac{1}{R_{2,2}}) > (\frac{1}{R_{1,1}} + \frac{1}{R_{1,2}})$

Это означает, что оптическая сила линзы 2 больше оптической силы линзы 1: $D_2 > D_1$.

Фокусное расстояние обратно пропорционально оптической силе ($F = 1/D$). Поэтому линза с большей оптической силой обладает меньшим фокусным расстоянием. Так как $D_2 > D_1$, отсюда следует, что $F_2 < F_1$.

Ответ: меньшее фокусное расстояние имеет линза 2.