Страница 220 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

63.8 [н] Мальчик собрал электрическую цепь, изображённую на рисунке VIII-32. Какой должна быть последовательность действий, чтобы возбудить электромагнитные колебания в колебательном контуре?

$C$, $L$

Рис. VIII-32

Решение

На рисунке изображена электрическая цепь, которая включает источник постоянного тока, переключатель, конденсатор ёмкостью $C$ и катушку индуктивностью $L$. Чтобы возбудить электромагнитные колебания в колебательном контуре (состоящем из конденсатора и катушки), необходимо сообщить ему начальный запас энергии. Это можно сделать, зарядив конденсатор или создав ток в катушке. В данной схеме предусмотрена возможность зарядки конденсатора от источника тока.

Процесс возбуждения колебаний состоит из двух основных этапов:

1. Накопление энергии в конденсаторе. Переключатель необходимо установить в левое положение. В этом случае конденсатор $C$ подключается к источнику постоянного тока и начинает заряжаться. Процесс зарядки продолжается до тех пор, пока напряжение на обкладках конденсатора не станет равным напряжению источника. В этот момент конденсатор накопит максимальную энергию электрического поля, равную $W_E = \frac{C U_{max}^2}{2}$. В этой части цепи катушка индуктивности не задействована.

2. Создание колебательного контура и запуск колебаний. После полной зарядки конденсатора переключатель необходимо быстро перевести в правое положение. При этом источник тока отключается от цепи, а заряженный конденсатор оказывается подключенным к катушке индуктивности $L$. Образуется замкнутый колебательный LC-контур.

С этого момента в контуре начинаются свободные электромагнитные колебания. Конденсатор начинает разряжаться через катушку, создавая в ней ток. Энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки ($W_M = \frac{L I^2}{2}$). Когда конденсатор полностью разрядится, ток в катушке достигнет максимума. Затем, из-за явления самоиндукции, ток не исчезает мгновенно, а поддерживает себя, перезаряжая конденсатор в обратной полярности. Процесс периодически повторяется.

Ответ: Необходимо сначала замкнуть ключ в левое положение, чтобы зарядить конденсатор от источника тока. Затем, после того как конденсатор зарядится, следует переключить ключ в правое положение, соединив тем самым заряженный конденсатор с катушкой индуктивности и создав колебательный контур.

Рис. VIII-32

63.9 [н] В первую четверть периода электро-магнитных колебаний в колебательном контуре конденсатор разряжается и сила тока нарастает (см. рис. VIII-28). Тормозит или ускоряет катушка этот процесс?

Решение

В первой четверти периода электромагнитных колебаний в LC-контуре происходит разрядка конденсатора. Накопленная в его электрическом поле энергия преобразуется в энергию магнитного поля, создаваемого током в катушке. В этот момент сила тока в цепи нарастает.

Основное свойство катушки индуктивности — это явление электромагнитной самоиндукции. Согласно правилу Ленца, при изменении силы тока, проходящего через катушку, в ней возникает ЭДС самоиндукции ($ε_с$), которая всегда направлена так, чтобы противодействовать причине, её вызывающей, то есть изменению тока. Величина этой ЭДС определяется выражением:

$ε_с = -L \frac{dI}{dt}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $\frac{dI}{dt}$ — скорость изменения силы тока.

Поскольку в первой четверти периода сила тока нарастает, её производная по времени $\frac{dI}{dt}$ положительна. Следовательно, ЭДС самоиндукции $ε_с$ имеет отрицательный знак. Это означает, что ЭДС самоиндукции направлена против тока, создаваемого разряжающимся конденсатором. Она как бы "сопротивляется" нарастанию тока.

Таким образом, катушка индуктивности препятствует быстрому нарастанию тока и, как следствие, замедляет процесс разрядки конденсатора. Индуктивность в электрической цепи играет роль, аналогичную инертности (массе) в механике: она противодействует изменению состояния движения (в данном случае — изменению тока).

Ответ: Катушка тормозит этот процесс.

63.10 [н] Как изменится период электромагнитных колебаний в колебательном контуре, если:

1) заменить конденсатор на другой — большей ёмкости;

2) увеличить число витков катушки;

3) удалить из катушки сердечник?

Решение

Период свободных электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре (LC-контуре) определяется формулой Томсона:

$T = 2\pi\sqrt{LC}$

где $L$ — индуктивность катушки, а $C$ — ёмкость конденсатора. Проанализируем, как изменится период $T$ в каждом из предложенных случаев.

1) заменить конденсатор на другой — большей ёмкости;

Пусть начальная ёмкость конденсатора равна $C_1$, а новая ёмкость — $C_2$. Согласно условию, $C_2 > C_1$. Индуктивность катушки $L$ при этом не изменяется. Начальный период колебаний определяется как $T_1 = 2\pi\sqrt{LC_1}$. Новый период будет равен $T_2 = 2\pi\sqrt{LC_2}$. Поскольку $C_2 > C_1$, то и $\sqrt{C_2} > \sqrt{C_1}$, что означает $T_2 > T_1$. Следовательно, период колебаний увеличится.

Ответ: период увеличится.

2) увеличить число витков катушки;

Индуктивность катушки (соленоида) пропорциональна квадрату числа витков: $L \propto N^2$. Пусть начальное число витков равно $N_1$, а новое — $N_2$. По условию, $N_2 > N_1$. Это приведёт к увеличению индуктивности, то есть новая индуктивность $L_2$ будет больше начальной $L_1$. Ёмкость конденсатора $C$ при этом не изменяется. Начальный период колебаний равен $T_1 = 2\pi\sqrt{L_1C}$, а новый — $T_2 = 2\pi\sqrt{L_2C}$. Так как $L_2 > L_1$, то и $T_2 > T_1$. Следовательно, период колебаний увеличится.

Ответ: период увеличится.

3) удалить из катушки сердечник?

Индуктивность катушки $L$ прямо пропорциональна магнитной проницаемости $\mu$ материала сердечника. Пусть начальная индуктивность катушки с сердечником равна $L_1$, а её индуктивность после удаления сердечника — $L_2$. Сердечник обычно изготавливается из ферромагнитного материала, для которого $\mu \gg 1$. После удаления сердечника его место занимает воздух, для которого $\mu \approx 1$. Таким образом, удаление сердечника приводит к значительному уменьшению индуктивности катушки, то есть $L_2 < L_1$. Ёмкость конденсатора $C$ при этом не изменяется. Начальный период колебаний $T_1 = 2\pi\sqrt{L_1C}$, а новый — $T_2 = 2\pi\sqrt{L_2C}$. Поскольку $L_2 < L_1$, то и $T_2 < T_1$. Следовательно, период колебаний уменьшится.

Ответ: период уменьшится.

63.11 [н] Если в колебательном контуре соединить пластины заряженного конденсатора отрезком обычного провода, то конденсатор разрядится и перезарядки его пластин не произойдёт. Какое поле возникает в катушке индуктивности и заставляет заряды во второй четверти периода колебаний переместиться на другую пластину?

Процесс колебаний в идеальном колебательном контуре, состоящем из катушки индуктивности и конденсатора, представляет собой периодический переход энергии электрического поля конденсатора в энергию магнитного поля катушки и обратно. Сравнение с разрядкой через обычный провод помогает понять ключевую роль катушки индуктивности.

В случае с обычным проводом, обладающим в основном активным сопротивлением, вся энергия электрического поля конденсатора ($W_E = \frac{q^2}{2C}$) при разрядке переходит в тепловую энергию, рассеиваемую на сопротивлении провода. Перезарядки не происходит, так как нет элемента, способного накопить энергию в другой форме и затем вернуть ее в цепь.

В колебательном контуре с катушкой индуктивности процесс протекает иначе. Рассмотрим его по четвертям периода $T$.

Первая четверть периода ($0 \rightarrow T/4$): В начальный момент времени ($t=0$) конденсатор полностью заряжен. Он начинает разряжаться, и в контуре возникает нарастающий электрический ток. Этот ток создает в катушке индуктивности нарастающее магнитное поле. Энергия электрического поля конденсатора переходит в энергию магнитного поля катушки ($W_M = \frac{LI^2}{2}$). К концу первой четверти периода ($t=T/4$) конденсатор полностью разряжен ($q=0$), а сила тока и энергия магнитного поля в катушке достигают своего максимального значения.

Вторая четверть периода ($T/4 \rightarrow T/2$): В этот момент, когда конденсатор разрядился и напряжение на нем стало равно нулю, ток в цепи, казалось бы, должен прекратиться. Однако из-за явления самоиндукции этого не происходит. Ток, достигший максимума, начинает убывать. Убывающий ток приводит к уменьшению магнитного поля и, следовательно, к изменению (уменьшению) магнитного потока, пронизывающего витки катушки.

Согласно закону электромагнитной индукции, изменение магнитного потока порождает в катушке ЭДС самоиндукции, которая описывается формулой: $$ \mathcal{E}_{си} = -L \frac{dI}{dt} $$ где $L$ — индуктивность катушки, а $\frac{dI}{dt}$ — скорость изменения тока.

Поскольку во второй четверти периода ток убывает, его производная $\frac{dI}{dt}$ отрицательна. Следовательно, ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{си}$ положительна и, согласно правилу Ленца, направлена так, чтобы воспрепятствовать уменьшению тока, то есть она поддерживает ток в прежнем направлении.

Физической причиной возникновения этой ЭДС является вихревое электрическое поле, которое, согласно уравнениям Максвелла, порождается любым изменяющимся во времени магнитным полем. Именно это вихревое электрическое поле действует на свободные носители заряда в проводнике (в витках катушки), заставляя их продолжать движение в прежнем направлении, несмотря на отсутствие напряжения на конденсаторе. Катушка индуктивности в этот момент времени выступает в роли источника тока, поддерживая его за счет накопленной энергии магнитного поля.

Этот поддерживаемый ток продолжает течь, перемещая заряды с одной пластины конденсатора на другую, тем самым перезаряжая его. Энергия магнитного поля катушки постепенно преобразуется обратно в энергию электрического поля конденсатора. К концу второй четверти периода ($t=T/2$) ток в контуре спадает до нуля, магнитное поле в катушке исчезает, а конденсатор оказывается полностью заряженным, но с противоположной полярностью по сравнению с начальным состоянием.

Ответ: В катушке индуктивности из-за уменьшения силы тока возникает изменяющееся во времени магнитное поле. Это изменяющееся магнитное поле, в свою очередь, порождает вихревое электрическое поле. Именно это вихревое электрическое поле (проявляющееся как ЭДС самоиндукции) поддерживает ток в контуре и заставляет заряды перемещаться, перезаряжая конденсатор.

63.12 [н] Правовинтовую или левовинтовую систему образуют три вектора: вектор $ \vec{E} $ напряжённости вихревого электрического поля, вектор $ \vec{B} $ индукции магнитного поля и вектор $ \vec{v} $ скорости распространения электромагнитной волны? Ответ поясните рисунком.

Решение

Векторы напряжённости электрического поля $\vec{E}$, индукции магнитного поля $\vec{B}$ и скорости распространения электромагнитной волны $\vec{v}$ в вакууме или однородной изотропной среде являются взаимно перпендикулярными. Их взаимная ориентация определяется направлением переноса энергии волны.

Направление и плотность потока энергии электромагнитной волны описывается вектором Пойнтинга $\vec{S}$. Этот вектор определяется как векторное произведение векторов напряжённости электрического поля $\vec{E}$ и индукции магнитного поля $\vec{B}$:

$\vec{S} = \frac{1}{\mu_0} [\vec{E} \times \vec{B}]$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная.

Вектор скорости распространения волны $\vec{v}$ всегда сонаправлен с вектором Пойнтинга $\vec{S}$. Это означает, что направление вектора $\vec{v}$ совпадает с направлением векторного произведения $[\vec{E} \times \vec{B}]$.

По определению векторного произведения, тройка векторов $(\vec{a}, \vec{b}, \vec{c})$, связанных соотношением $\vec{c} = [\vec{a} \times \vec{b}]$, образует правую тройку, или правовинтовую систему. Это можно определить с помощью правила правой руки (или правила правого винта): если вращать рукоятку правого винта от первого вектора-сомножителя ($\vec{E}$) ко второму ($\vec{B}$) по кратчайшему углу, то поступательное движение винта укажет направление результирующего вектора ($\vec{v}$).

Следовательно, тройка векторов $(\vec{E}, \vec{B}, \vec{v})$ образует правовинтовую систему. Эта взаимосвязь показана на рисунке.

Ответ:

Три вектора: вектор $\vec{E}$ напряжённости вихревого электрического поля, вектор $\vec{B}$ индукции магнитного поля и вектор $\vec{v}$ скорости распространения электромагнитной волны образуют правовинтовую систему (правую тройку векторов).

63.13 [н] Перенесите в тетрадь рисунки VIII-33 и укажите на-правление вектора, не обозначенного на каждом рисунке.

$Y$

$\vec{B}$

$\vec{E}$

$X$

$Z$

$Y$

$\vec{E}$

$\vec{v}$

$X$

$Z$

$Y$

$\vec{v}$

$\vec{B}$

$X$

$Z$

$Y$

$\vec{B}$

$\vec{v}$

$X$

$Z$

Рис. VIII-33

В электромагнитной волне векторы напряженности электрического поля $\vec{E}$, магнитной индукции $\vec{B}$ и скорости распространения волны $\vec{v}$ взаимно перпендикулярны и образуют правую тройку векторов. Это означает, что их направления связаны правилом правого винта (или правилом правой руки). Направление вектора скорости $\vec{v}$ совпадает с направлением переноса энергии, которое описывается вектором Пойнтинга $\vec{S}$. Вектор Пойнтинга определяется векторным произведением векторов $\vec{E}$ и $\vec{B}$:

$\vec{S} \propto [\vec{E} \times \vec{B}]$

Следовательно, направление вектора $\vec{v}$ совпадает с направлением векторного произведения $[\vec{E} \times \vec{B}]$. Для определения направления неизвестного вектора в каждом случае будем использовать правило правой руки для векторного произведения: если расположить четыре пальца правой руки по направлению первого вектора ($\vec{E}$) и согнуть их в сторону второго вектора ($\vec{B}$), то отставленный на $90^\circ$ большой палец укажет направление результирующего вектора ($\vec{v}$).

63.14 [н] Во сколько раз длина волны излучения от проводов с переменным током частотой 50 Гц больше длины волны излучения сотового телефона, работающего на частоте 2 ГГц?

Дано:

Частота переменного тока в проводах, $f_1 = 50$ Гц
Частота излучения сотового телефона, $f_2 = 2$ ГГц

$f_1 = 50$ Гц
$f_2 = 2 \text{ ГГц} = 2 \cdot 10^9$ Гц

Найти:

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ — ?

Решение:

Длина электромагнитной волны $\lambda$ связана с ее частотой $f$ и скоростью распространения $c$ (скоростью света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с) соотношением:

$\lambda = \frac{c}{f}$

Найдем длину волны излучения от проводов с переменным током:

$\lambda_1 = \frac{c}{f_1}$

Найдем длину волны излучения сотового телефона:

$\lambda_2 = \frac{c}{f_2}$

Чтобы определить, во сколько раз длина волны $\lambda_1$ больше длины волны $\lambda_2$, найдем их отношение:

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{c/f_1}{c/f_2} = \frac{c}{f_1} \cdot \frac{f_2}{c} = \frac{f_2}{f_1}$

Как видно из формулы, отношение длин волн обратно пропорционально отношению их частот. Подставим числовые значения:

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{2 \cdot 10^9 \text{ Гц}}{50 \text{ Гц}} = \frac{20 \cdot 10^8}{5 \cdot 10^1} = 4 \cdot 10^7$

Таким образом, длина волны излучения от проводов с переменным током в 40 миллионов раз больше длины волны излучения сотового телефона.

Ответ: Длина волны излучения от проводов с переменным током больше длины волны излучения сотового телефона в $4 \cdot 10^7$ раз.

63.15 [н] Электромагнитная световая волна с длиной волны 0,6 мкм распространяется в вакууме. Определите её частоту и период колебаний. С какой частотой и скоростью будет распространяться эта волна при переходе в стекло, если длина электромагнитных волн в стекле в 1,5 раза меньше, чем в вакууме?

Дано:

Длина волны в вакууме, $\lambda_0 = 0,6 \text{ мкм} = 0,6 \times 10^{-6} \text{ м}$

Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \times 10^8 \text{ м/с}$

Соотношение длин волн, $\frac{\lambda_0}{\lambda_{стекла}} = 1,5$

Найти:

Частоту в вакууме, $\nu_0$ - ?

Период в вакууме, $T_0$ - ?

Частоту в стекле, $\nu_{стекла}$ - ?

Скорость в стекле, $v_{стекла}$ - ?

Решение:

Определите её частоту и период колебаний.

Частота электромагнитной волны $\nu_0$ связана с её длиной волны в вакууме $\lambda_0$ и скоростью света $c$ следующим соотношением:

$c = \lambda_0 \cdot \nu_0$

Отсюда можем выразить частоту:

$\nu_0 = \frac{c}{\lambda_0}$

Подставим числовые значения:

$\nu_0 = \frac{3 \times 10^8 \text{ м/с}}{0,6 \times 10^{-6} \text{ м}} = 5 \times 10^{14} \text{ Гц}$

Период колебаний $T_0$ — это величина, обратная частоте:

$T_0 = \frac{1}{\nu_0}$

Вычислим период:

$T_0 = \frac{1}{5 \times 10^{14} \text{ Гц}} = 0,2 \times 10^{-14} \text{ с} = 2 \times 10^{-15} \text{ с}$

Ответ: частота волны в вакууме равна $5 \times 10^{14} \text{ Гц}$, а период колебаний равен $2 \times 10^{-15} \text{ с}$.

С какой частотой и скоростью будет распространяться эта волна при переходе в стекло, если длина электромагнитных волн в стекле в 1,5 раза меньше, чем в вакууме?

При переходе световой волны из одной среды в другую (из вакуума в стекло) её частота остаётся неизменной, так как она определяется характеристиками источника волны. Таким образом, частота волны в стекле $\nu_{стекла}$ равна её частоте в вакууме $\nu_0$.

$\nu_{стекла} = \nu_0 = 5 \times 10^{14} \text{ Гц}$

Скорость распространения волны в среде $v_{стекла}$ связана с длиной волны в этой среде $\lambda_{стекла}$ и частотой $\nu_{стекла}$ формулой:

$v_{стекла} = \lambda_{стекла} \cdot \nu_{стекла}$

По условию, длина волны в стекле в 1,5 раза меньше, чем в вакууме:

$\lambda_{стекла} = \frac{\lambda_0}{1,5}$

Подставим это выражение в формулу для скорости, а также учтем, что $\nu_{стекла} = \nu_0$:

$v_{стекла} = \frac{\lambda_0}{1,5} \cdot \nu_0 = \frac{\lambda_0 \cdot \nu_0}{1,5}$

Поскольку произведение длины волны в вакууме на частоту равно скорости света в вакууме ($\lambda_0 \cdot \nu_0 = c$), получаем:

$v_{стекла} = \frac{c}{1,5}$

Вычислим скорость в стекле:

$v_{стекла} = \frac{3 \times 10^8 \text{ м/с}}{1,5} = 2 \times 10^8 \text{ м/с}$

Ответ: частота волны в стекле составит $5 \times 10^{14} \text{ Гц}$, а скорость её распространения будет $2 \times 10^8 \text{ м/с}$.