Страница 215 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

60.17 [н] В каком положении рамки с током (см. рис. VIII-22) вращающий момент силы Ампера максимален? равен 0?

Вращающий момент силы Ампера, действующий на рамку с током в однородном магнитном поле, определяется формулой: $M = p_m B \sin(\alpha)$, где $p_m$ – магнитный момент рамки ($p_m = IS$), $I$ – сила тока в рамке, $S$ – площадь рамки, $B$ – индукция магнитного поля, а $\alpha$ – угол между вектором нормали к плоскости рамки (направление которого совпадает с направлением вектора магнитного момента $\vec{p}_m$) и вектором магнитной индукции $\vec{B}$. Направление вектора $\vec{p}_m$ определяется по правилу правой руки: если четыре пальца согнуть в направлении тока в рамке, то отогнутый большой палец покажет направление вектора магнитного момента.

вращающий момент силы Ампера максимален

Вращающий момент $M$ достигает своего максимального значения, когда множитель $\sin(\alpha)$ максимален. Максимальное значение синуса равно 1, что достигается при угле $\alpha = 90^\circ$. Это означает, что вектор нормали к рамке $\vec{n}$ (и сонаправленный с ним вектор магнитного момента $\vec{p}_m$) перпендикулярен вектору магнитной индукции $\vec{B}$. Следовательно, для достижения максимального вращающего момента сама плоскость рамки должна быть расположена параллельно линиям магнитной индукции. В этом положении пара сил Ампера, действующих на противоположные стороны рамки, имеет максимальное плечо, создавая наибольший вращающий момент.

Ответ: вращающий момент силы Ампера максимален, когда плоскость рамки с током параллельна линиям магнитной индукции.

равен 0

Вращающий момент $M$ обращается в ноль, когда $\sin(\alpha) = 0$. Это условие выполняется при двух значениях угла: $\alpha = 0^\circ$ и $\alpha = 180^\circ$. В этих случаях вектор нормали к рамке $\vec{n}$ (и вектор $\vec{p}_m$) коллинеарен вектору магнитной индукции $\vec{B}$ (параллелен при $\alpha = 0^\circ$ или антипараллелен при $\alpha = 180^\circ$). Это означает, что плоскость рамки перпендикулярна линиям магнитной индукции. В таком положении силы Ампера, действующие на стороны рамки, либо направлены вдоль оси вращения, либо направлены от центра или к центру рамки (растягивая или сжимая ее), но их вращающий эффект равен нулю. Положение, когда $\alpha = 0^\circ$, соответствует устойчивому равновесию, а когда $\alpha = 180^\circ$ — неустойчивому.

Ответ: вращающий момент силы Ампера равен нулю, когда плоскость рамки с током перпендикулярна линиям магнитной индукции.

60.18[н] На рисунке VIII-22 представлен принцип действия двигателя постоянного тока. Существенным преимуществом такого двигателя является возможность плавной регулировки числа оборотов вала. Предложите простое известное вам устройство для осуществления этой возможности.

60.18 [н]

Для плавной регулировки числа оборотов вала двигателя постоянного тока можно использовать простое и широко известное устройство — реостат. Реостат представляет собой резистор с переменным сопротивлением, который включается в электрическую цепь двигателя.

Решение

Принцип работы двигателя постоянного тока основан на том, что на проводник с током, помещенный в магнитное поле, действует сила Ампера, создающая вращающий момент. Скорость вращения вала двигателя напрямую зависит от величины силы тока в его обмотке якоря и приложенного напряжения.

Скорость вращения вала $\omega$ (угловая скорость) определяется балансом между вращающим моментом двигателя $M$ и моментом нагрузки. Вращающий момент пропорционален силе тока $I$ в обмотке якоря: $M \propto I$.

Когда якорь двигателя вращается в магнитном поле, в его обмотке возникает противо-ЭДС (электродвижущая сила индукции) $E_{противо-ЭДС}$, которая направлена навстречу напряжению источника питания $U$. Для цепи якоря справедливо уравнение: $U = I \cdot R_я + E_{противо-ЭДС}$ где $R_я$ — сопротивление обмотки якоря.

Величина противо-ЭДС пропорциональна скорости вращения вала: $E_{противо-ЭДС} = k \cdot \omega$, где $k$ — конструктивный коэффициент двигателя.

Для регулировки скорости вращения в цепь двигателя последовательно с якорем включают реостат с регулируемым сопротивлением $R_{реост}$. Тогда общее сопротивление цепи становится $R_{общ} = R_я + R_{реост}$. Сила тока в цепи, согласно закону Ома, будет равна: $I = \frac{U - E_{противо-ЭДС}}{R_я + R_{реост}}$

Из этой формулы видно, что при увеличении сопротивления реостата $R_{реост}$, при прочих равных условиях, сила тока $I$ в цепи уменьшается. Уменьшение силы тока приводит к снижению вращающего момента двигателя. Для восстановления баланса с моментом нагрузки двигатель снижает скорость вращения $\omega$, что, в свою очередь, уменьшает противо-ЭДС, пока не установится новый равновесный режим на более низкой скорости.

И наоборот, при уменьшении сопротивления реостата $R_{реост}$ сила тока $I$ возрастает, что приводит к увеличению вращающего момента и, как следствие, к увеличению скорости вращения вала.

Таким образом, плавно перемещая ползунок реостата, можно плавно изменять сопротивление в цепи, регулируя тем самым силу тока и, соответственно, скорость вращения вала двигателя.

Ответ: Простым устройством для плавной регулировки числа оборотов вала двигателя постоянного тока является реостат, включенный последовательно в цепь якоря двигателя.

60.19 [н] Объясните принцип действия измерительных приборов магнитоэлектрической и электромагнитной систем по их условным изображениям (рис. VIII-23).

Рис. VIII-23

На изображении представлены условные обозначения измерительных приборов двух различных систем: магнитоэлектрической (слева) и электромагнитной (справа). Объясним принцип их действия.

Принцип действия прибора магнитоэлектрической системы

Этот тип прибора, условно обозначенный подковообразным магнитом с рамкой внутри, работает на основе взаимодействия магнитного поля постоянного магнита и магнитного поля катушки с током (рамки).

Основными элементами являются сильный постоянный магнит и лёгкая катушка (рамка) с намотанным на неё тонким проводом, которая может вращаться в зазоре между полюсами магнита. К катушке прикреплена стрелка-указатель.

Когда через катушку протекает измеряемый электрический ток $I$, на её стороны, находящиеся в магнитном поле, начинает действовать сила Ампера. Эти силы создают вращающий момент $M$, который поворачивает катушку со стрелкой. Величина этого момента пропорциональна силе тока, что выражается формулой:

$M = B \cdot I \cdot S \cdot N$

где $B$ – индукция магнитного поля постоянного магнита, $I$ – сила тока в рамке, $S$ – площадь рамки, $N$ – число витков в рамке.

Вращению катушки противодействует пружина, создающая упругий момент $M_{упр}$, пропорциональный углу поворота $\alpha$:

$M_{упр} = k \cdot \alpha$

где $k$ – жёсткость пружины.

Стрелка останавливается, когда вращающий момент уравновешивается упругим моментом ($M = M_{упр}$). Отсюда следует, что угол поворота стрелки прямо пропорционален силе тока:

$\alpha = \frac{B \cdot S \cdot N}{k} \cdot I$

Так как направление вращающего момента зависит от направления тока, приборы этой системы могут измерять только постоянный ток (или требуют выпрямителя для переменного тока) и определять его полярность. Они обладают высокой точностью и чувствительностью, а их шкала, как правило, равномерна.

Ответ: Принцип действия прибора магнитоэлектрической системы основан на взаимодействии магнитного поля постоянного магнита с проводником (катушкой), по которому протекает измеряемый ток. Возникающий вращающий момент, пропорциональный силе тока, поворачивает подвижную катушку со стрелкой на угол, который уравновешивается противодействующим моментом пружины.

Принцип действия прибора электромагнитной системы

Этот тип прибора, условно обозначенный катушкой и сердечником со стрелкой, работает на основе взаимодействия магнитного поля, создаваемого неподвижной катушкой с током, и подвижного ферромагнитного сердечника.

Конструкция включает неподвижную катушку, через которую протекает измеряемый ток, и один или несколько подвижных сердечников из ферромагнитного материала, связанных со стрелкой-указателем.

Когда по катушке проходит ток, она создаёт магнитное поле. Это поле намагничивает сердечник и втягивает его внутрь катушки, стремясь занять положение, соответствующее максимальной магнитной индукции. Сила втягивания $F$ пропорциональна квадрату силы тока:

$F \propto I^2$

Это происходит потому, что и индукция магнитного поля катушки, и степень намагничивания сердечника пропорциональны силе тока $I$.

Движению сердечника противодействует пружина или сила тяжести, создавая противодействующий момент. Стрелка отклоняется на такой угол, при котором втягивающая сила уравновешивается противодействующей.

Поскольку втягивающая сила пропорциональна квадрату тока, её направление не зависит от направления тока. Поэтому приборы электромагнитной системы могут измерять как постоянный, так и переменный ток (его действующее значение). Их шкала является неравномерной (сжатой в начале). Эти приборы конструктивно проще и дешевле магнитоэлектрических, более устойчивы к перегрузкам, но обладают меньшей точностью.

Ответ: Принцип действия прибора электромагнитной системы основан на втягивании подвижного ферромагнитного сердечника в магнитное поле, создаваемое неподвижной катушкой при прохождении через неё измеряемого тока. Сила втягивания, пропорциональная квадрату тока, поворачивает стрелку на угол, который уравновешивается противодействующей силой.

60.20 [н] В некоторый момент времени скорости протона и электрона ориентированы относительно линий индукции бесконечного однородного магнитного поля так, как показано на рисунке VIII-24. В каком направлении и по какой траектории движутся частицы?

Рис. VIII-24

$\vec{B}$ $\vec{v}$

Движение заряженной частицы в магнитном поле описывается силой Лоренца. Вектор этой силы определяется формулой векторного произведения: $ \vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B}) $ где $q$ — заряд частицы, $\vec{v}$ — ее скорость, а $\vec{B}$ — вектор магнитной индукции. Направление силы $\vec{F}$ для положительного заряда ($q > 0$) определяется по правилу правой руки, а для отрицательного ($q < 0$) — по правилу левой руки (или по правилу правой руки с последующим изменением направления на противоположное). Траектория движения частицы зависит от угла $\alpha$ между векторами скорости и магнитной индукции.

• Если скорость перпендикулярна магнитному полю ($\alpha = 90^\circ$), то сила Лоренца постоянна по модулю и перпендикулярна скорости, заставляя частицу двигаться по окружности.
• Если скорость параллельна или антипараллельна полю ($\alpha = 0^\circ$ или $\alpha = 180^\circ$), сила Лоренца равна нулю, и частица движется прямолинейно и равномерно.
• Если скорость направлена под любым другим углом к полю ($0 < \alpha < 180^\circ$, $\alpha \neq 90^\circ$), движение представляет собой комбинацию движения по окружности и прямолинейного движения вдоль поля. В результате частица движется по винтовой линии (спирали).

Проанализируем каждый из трех случаев, показанных на рисунке.

Случай 1: Электрон в магнитном поле, направленном «от нас»

В этом случае электрон (заряд $q < 0$) движется со скоростью $\vec{v}$, направленной вниз. Магнитное поле $\vec{B}$ направлено перпендикулярно плоскости рисунка «от нас» (обозначено крестиками). Следовательно, угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции составляет $90^\circ$. Это означает, что траекторией движения будет окружность.

Для определения направления вращения применим правило левой руки. Расположим левую руку так, чтобы четыре пальца указывали направление скорости электрона (вниз), а линии магнитного поля $\vec{B}$ входили в ладонь. Поскольку поле направлено «от нас», ладонь должна быть обращена вверх. В этом случае отогнутый на $90^\circ$ большой палец укажет направление силы Лоренца — вправо.

Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости и выступает в роли центростремительной силы. В начальный момент она направлена вправо, поэтому электрон начнет отклоняться вправо, двигаясь по окружности по часовой стрелке.

Ответ: Электрон движется по окружности по часовой стрелке.

Случай 2: Электрон в магнитном поле, направленном под углом к скорости

Здесь электрон ($q < 0$) движется со скоростью $\vec{v}$ так, что угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{B}$ является тупым (больше $90^\circ$). В такой ситуации движение частицы будет происходить по винтовой линии. Для анализа разложим вектор скорости $\vec{v}$ на две составляющие: $\vec{v}_{||}$ — параллельную вектору $\vec{B}$, и $\vec{v}_{\perp}$ — перпендикулярную ему.

Составляющая $\vec{v}_{||}$ отвечает за поступательное движение частицы вдоль оси, параллельной магнитному полю. На эту составляющую сила Лоренца не действует. Поскольку угол между $\vec{v}$ и $\vec{B}$ тупой, вектор $\vec{v}_{||}$ направлен в сторону, противоположную вектору $\vec{B}$. Таким образом, электрон будет смещаться вдоль силовой линии, но в направлении, противоположном $\vec{B}$ (вниз и вправо).

Составляющая $\vec{v}_{\perp}$ вызывает вращательное движение в плоскости, перпендикулярной вектору $\vec{B}$. Совмещение этих двух движений — поступательного вдоль поля и вращательного вокруг него — и создает траекторию в виде винтовой линии (спирали), ось которой совпадает с направлением вектора $\vec{B}$.

Для отрицательно заряженной частицы винтовая линия является левовинтовой относительно направления её осевого смещения ($\vec{v}_{||}$). Это значит, что если смотреть вдоль направления поступательного движения электрона (вниз и вправо), его вращение будет происходить против часовой стрелки.

Ответ: Электрон движется по винтовой линии (спирали), ось которой параллельна вектору $\vec{B}$. Поступательное движение электрона вдоль оси спирали происходит в направлении, противоположном вектору $\vec{B}$.

Случай 3: Протон в магнитном поле, направленном «к нам»

Протон (заряд $q > 0$) движется со скоростью $\vec{v}$ вверх. Магнитное поле $\vec{B}$ направлено перпендикулярно плоскости рисунка «к нам» (обозначено точками). Угол между скоростью и полем составляет $90^\circ$, значит, траектория движения — окружность.

Для определения направления движения применим правило правой руки. Расположим правую руку так, чтобы четыре пальца были направлены по скорости протона (вверх), а линии поля $\vec{B}$ выходили из ладони (т.е. ладонь обращена к нам). В этом случае отогнутый большой палец укажет направление силы Лоренца — влево. Другой способ: четыре пальца по $\vec{v}$ (вверх), а вектор $\vec{B}$ (к нам) должен входить в ладонь, для чего ее нужно развернуть вниз. Тогда большой палец укажет влево.

Сила Лоренца, направленная влево, будет отклонять протон влево от первоначального направления движения. В результате протон будет двигаться по окружности против часовой стрелки.

Ответ: Протон движется по окружности против часовой стрелки.

60.21 [н] Сила Ампера $F_A$ зависит от угла $\alpha$ между направлением тока в проводнике (движения положительных зарядов) и вектором индукции внешнего магнитного поля. Она изменяется нелинейно, принимая значения от 0 до $F_{\text{max}}$ при изменении угла $\alpha$ от 0 до 90°. Какой известной вам из курса геометрии функцией угла $\alpha$ следует дополнить формулу $F_A = IBL$... ?

Дано:
Сила Ампера $F_A$ зависит от угла $\alpha$ между направлением тока и вектором индукции магнитного поля.
Зависимость $F_A$ от $\alpha$ нелинейная.
При $\alpha = 0^\circ$, сила $F_A = 0$.
При $\alpha = 90^\circ$, сила $F_A = F_{max}$.

Найти:
Функцию угла $\alpha$, которой следует дополнить формулу $F_A = IBL...$

Решение:

Сила Ампера ($F_A$) — это сила, с которой магнитное поле действует на проводник с током. Её модуль определяется законом Ампера. Для прямолинейного проводника длины $l$, по которому течет ток $I$, в однородном магнитном поле с индукцией $B$, формула для модуля силы Ампера зависит от угла $\alpha$ между направлением тока и вектором магнитной индукции $\vec{B}$.

Согласно условию, при изменении угла $\alpha$ от 0° до 90° сила $F_A$ нелинейно возрастает от 0 до своего максимального значения $F_{max}$. Нам необходимо найти тригонометрическую функцию угла, которая ведёт себя аналогичным образом в указанном диапазоне.

Проанализируем поведение основных тригонометрических функций угла $\alpha$ при его изменении от $0^\circ$ до $90^\circ$:

• Синус ($\sin\alpha$): При изменении угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $90^\circ$, значение $\sin\alpha$ нелинейно возрастает от 0 ($\sin 0^\circ = 0$) до 1 ($\sin 90^\circ = 1$).
• Косинус ($\cos\alpha$): При изменении угла $\alpha$ от $0^\circ$ до $90^\circ$, значение $\cos\alpha$ нелинейно убывает от 1 ($\cos 0^\circ = 1$) до 0 ($\cos 90^\circ = 0$).

Сравним поведение функций с условием задачи:

• При $\alpha = 0^\circ$ сила Ампера равна 0. Этому условию соответствует функция $\sin\alpha$, так как $\sin 0^\circ = 0$.
• При $\alpha = 90^\circ$ сила Ампера максимальна ($F_{max}$). Этому условию также соответствует функция $\sin\alpha$, так как $\sin 90^\circ = 1$, что является максимальным значением для данной функции.

Таким образом, зависимость силы Ампера от угла $\alpha$ описывается функцией синуса. Полная формула для модуля силы Ампера имеет вид:

$F_A = I B l \sin\alpha$

При таком выражении $F_{max} = IBL$ (когда $\sin\alpha = 1$).

Ответ: Формулу $F_A = IBL...$ следует дополнить функцией синуса угла $\alpha$, то есть $\sin\alpha$. Полная формула имеет вид: $F_A = IBL\sin\alpha$.

60.22 [н] Прямой проводник помещён в однородное магнитное поле с индукцией $0,1 \text{ Тл}$ под углом $30^\circ$ к линиям индукции. Какая сила будет действовать на каждые $5 \text{ см}$ проводника, если сила тока в нём $8 \text{ А}$?

Дано:

Индукция магнитного поля $B = 0,1 \text{ Тл}$

Угол $\alpha = 30^\circ$

Длина проводника $l = 5 \text{ см}$

Сила тока $I = 8 \text{ А}$

Найти:

Сила Ампера $F$ - ?

Решение:

Для определения силы, действующей на прямой проводник с током в однородном магнитном поле, используется формула силы Ампера:

$F = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha)$

где:

• $F$ – сила Ампера,
• $I$ – сила тока в проводнике,
• $B$ – индукция магнитного поля,
• $l$ – длина участка проводника, на который действует сила,
• $\alpha$ – угол между направлением тока (проводником) и вектором магнитной индукции.

В нашем случае все величины известны. Подставим их в формулу, используя значения в системе СИ.

Синус угла $30^\circ$ равен $0,5$:

$\sin(30^\circ) = 0,5$

Произведем расчет:

$F = 8 \text{ А} \cdot 0,1 \text{ Тл} \cdot 0,05 \text{ м} \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot 0,1 \cdot 0,05 \cdot 0,5 \text{ Н}$

$F = 0,8 \cdot 0,05 \cdot 0,5 \text{ Н}$

$F = 0,04 \cdot 0,5 \text{ Н}$

$F = 0,02 \text{ Н}$

Ответ: $0,02 \text{ Н}$.

60.23 [н] Вектор скорости движения электронов в прямом проводе образует угол $60^\circ$ с вектором индукции однородного магнитного поля. Чему равна индукция поля, если оно действует с силой $0,02 \text{ Н}$ на каждые $10 \text{ см}$ провода при силе тока $5 \text{ А}$?

Дано:

$ \alpha = 60^\circ $
$ F = 0.02 \text{ Н} $
$ l = 10 \text{ см} $
$ I = 5 \text{ А} $

$ l = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} $

Найти:

$ B $ - ?

Решение:

Сила, действующая на проводник с током в однородном магнитном поле, определяется законом Ампера. Величина этой силы (силы Ампера) вычисляется по формуле:

$ F_A = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\theta) $

где $I$ — сила тока в проводнике, $B$ — индукция магнитного поля, $l$ — длина участка проводника, на который действует сила, а $\theta$ — угол между направлением тока в проводнике и вектором магнитной индукции.

В условии задачи дан угол $\alpha = 60^\circ$ между вектором скорости движения электронов и вектором индукции магнитного поля. Направление тока принято считать противоположным направлению движения электронов. Следовательно, угол между направлением тока и вектором индукции будет $\theta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Однако, для расчета модуля силы Ампера нам нужен синус этого угла. Используя тригонометрическое тождество, получаем:

$ \sin(\theta) = \sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha) $

Таким образом, для расчета можно использовать угол $\alpha = 60^\circ$:

$ F = I \cdot B \cdot l \cdot \sin(\alpha) $

Выразим из этой формулы искомую величину индукции магнитного поля $B$:

$ B = \frac{F}{I \cdot l \cdot \sin(\alpha)} $

Подставим числовые значения в систему СИ:

$ B = \frac{0.02 \text{ Н}}{5 \text{ А} \cdot 0.1 \text{ м} \cdot \sin(60^\circ)} $

Зная, что $ \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 $, произведем вычисления:

$ B = \frac{0.02}{0.5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{0.02}{0.25 \cdot \sqrt{3}} = \frac{0.08}{\sqrt{3}} \approx \frac{0.08}{1.732} \approx 0.04618... \text{ Тл} $

Округляя до двух значащих цифр, получаем:

$ B \approx 0.046 \text{ Тл} $

Ответ: $ B \approx 0.046 \text{ Тл} $.