Номер 67.30, страница 230 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 67. Плоское зеркало. Глава 9. Оптические явления - номер 67.30, страница 230.

67.30 [н] Расстояние между центрами зрачков глаз человека равно $l$, а наибольшая ширина его тела — $L$ (рис. IX-28). По какой формуле можно вычислить минимальную ширину $d$ зеркала, чтобы человек мог видеть своё полное отражение по горизонтали?

Вид сверху

Рис. IX-28

Дано

$l$ - расстояние между центрами зрачков человека
$L$ - наибольшая ширина тела человека

Найти

$d$ - минимальная ширина зеркала

Решение

Для того чтобы человек мог видеть свое полное отражение по горизонтали, лучи света от крайних точек его тела (например, от левого и правого плеча) должны после отражения от краев зеркала попадать в его глаза. Чтобы ширина зеркала $d$ была минимальной, необходимо использовать оба глаза. Самый эффективный способ — это когда левый глаз видит отражение правого плеча, а правый глаз — отражение левого плеча.

Воспользуемся методом мнимого изображения, который упрощает геометрическое построение. Плоское зеркало создает мнимое изображение объекта на том же расстоянии за зеркалом, на каком объект находится перед ним. Изображение является прямым и имеет те же размеры, что и объект.

Рассмотрим вид сверху. Введем систему координат. Пусть зеркало расположено вдоль оси $Oy$, а перпендикулярно ему проходит ось $Ox$. Человек находится на расстоянии $h$ от зеркала в отрицательной области оси $Ox$. Тогда его мнимое изображение будет находиться на том же расстоянии $h$ за зеркалом в положительной области оси $Ox$.

Расположим начало координат так, чтобы ось $Ox$ проходила через середину отрезка, соединяющего глаза человека. Тогда координаты ключевых точек будут следующими:

• Левый глаз ($E_L$): $(-h, -l/2)$
• Правый глаз ($E_R$): $(-h, l/2)$
• Крайняя левая точка тела (левое плечо, $A$): $(-h, -L/2)$
• Крайняя правая точка тела (правое плечо, $B$): $(-h, L/2)$

Координаты мнимых изображений крайних точек тела:

• Изображение левого плеча ($A'$): $(h, -L/2)$
• Изображение правого плеча ($B'$): $(h, L/2)$

Чтобы увидеть полное отражение, луч света, идущий от мнимого изображения правого плеча $B'$, должен попасть в левый глаз $E_L$. Этот луч проходит через правый край зеркала $M_2$. Аналогично, луч от мнимого изображения левого плеча $A'$ должен попасть в правый глаз $E_R$, проходя через левый край зеркала $M_1$.

Найдем координаты краев зеркала $M_1$ и $M_2$, которые лежат на оси $Oy$ (т.е. их координата $x=0$).

Точка $M_1(0, y_1)$ лежит на отрезке, соединяющем правый глаз $E_R(-h, l/2)$ и изображение левого плеча $A'(h, -L/2)$. Поскольку координата $x=0$ является серединой между $x=-h$ и $x=h$, мы можем найти координату $y_1$ как среднее арифметическое $y$-координат точек $E_R$ и $A'$:

$y_1 = \frac{y_{E_R} + y_{A'}}{2} = \frac{l/2 + (-L/2)}{2} = \frac{l-L}{4}$

Точка $M_2(0, y_2)$ лежит на отрезке, соединяющем левый глаз $E_L(-h, -l/2)$ и изображение правого плеча $B'(h, L/2)$. Аналогично находим координату $y_2$:

$y_2 = \frac{y_{E_L} + y_{B'}}{2} = \frac{-l/2 + L/2}{2} = \frac{L-l}{4}$

Минимальная ширина зеркала $d$ равна расстоянию между его краями $M_1$ и $M_2$:

$d = y_2 - y_1 = \frac{L-l}{4} - \frac{l-L}{4} = \frac{L-l}{4} + \frac{L-l}{4} = \frac{2(L-l)}{4} = \frac{L-l}{2}$

Таким образом, минимальная ширина зеркала не зависит от расстояния до него, а определяется только шириной тела и расстоянием между глазами.

Ответ: $d = \frac{L-l}{2}$