Номер 9, страница 53 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Тесты для самоконтроля. ТС-5. Давление твёрдых тел. Вариант 2 - номер 9, страница 53.

Условие.

9. Цилиндр, изготовленный из стали, имеет площадь основания 10 см$^2$. Какую площадь основания должен иметь гранитный цилиндр такой же высоты, чтобы давление, оказываемое цилиндрами на стол, было одинаковым? Плотность гранита 2600 $\frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

А. 20 см$^2$.

Б. 40 см$^2$.

В. Невозможно ни при какой площади основания.

Решение.

Дано:

$S_1 = 10 \text{ см}^2$ (площадь основания стального цилиндра)

$\rho_2 = 2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность гранитного цилиндра)

$h_1 = h_2 = h$ (высота цилиндров одинакова)

$P_1 = P_2$ (давление цилиндров на стол одинаково)

$\rho_1 = 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (справочное значение плотности стали)

Перевод в систему СИ:

$S_1 = 10 \text{ см}^2 = 10 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 10 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0,001 \text{ м}^2$

Найти:

$S_2$ - ?

Решение:

Давление, которое оказывает тело на горизонтальную опору, определяется по формуле:

$P = \frac{F}{S}$

где $\text{F}$ – сила, действующая на опору, а $\text{S}$ – площадь опоры.

В данном случае сила $\text{F}$ – это вес цилиндра, который равен силе тяжести $F = mg$, где $\text{m}$ – масса цилиндра, а $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Массу цилиндра можно выразить через его плотность $\rho$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho V$

Объем цилиндра равен произведению площади его основания $\text{S}$ на высоту $\text{h}$:

$V = S \cdot h$

Подставим выражения для массы и объема в формулу для давления:

$P = \frac{mg}{S} = \frac{(\rho V)g}{S} = \frac{(\rho S h)g}{S}$

Как видно из формулы, площадь основания $\text{S}$ в числителе и знаменателе сокращается. Таким образом, давление, оказываемое цилиндром на горизонтальную поверхность, не зависит от площади его основания, а зависит только от плотности материала и высоты цилиндра:

$P = \rho g h$

По условию задачи, давление, оказываемое стальным ($P_1$) и гранитным ($P_2$) цилиндрами, должно быть одинаковым, и их высоты ($h_1$ и $h_2$) также равны ($h_1 = h_2 = h$).

$P_1 = P_2$

$\rho_1 g h = \rho_2 g h$

Сократив $\text{g}$ и $\text{h}$ в обеих частях уравнения, получаем условие, при котором давления будут равны:

$\rho_1 = \rho_2$

Плотность стали $\rho_1 \approx 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, а плотность гранита $\rho_2 = 2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Поскольку $7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \neq 2600 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$, равенство плотностей не выполняется. Следовательно, невозможно подобрать такую площадь основания для гранитного цилиндра, чтобы при той же высоте он оказывал такое же давление, как и стальной. Давление, создаваемое цилиндром, не зависит от площади его основания.

Ответ: В. Невозможно ни при какой площади основания.