Номер 6, страница 76 - гдз по физике 7 класс самостоятельные и контрольные работы Марон, Марон

Глава 4. Работа и мощность. Энергия. Контрольная работа № 5 (итоговая). Вариант 1 - номер 6, страница 76.

Условие.

6. На неравноплечем рычаге уравновешены два груза. Нарушится ли его равновесие, если массу этих грузов увеличить или уменьшить на одно и то же значение?

Решение.

Дано:

$m_1, m_2$ – начальные массы грузов
$l_1, l_2$ – плечи рычага
$l_1 \neq l_2$ (неравноплечий рычаг)
$\Delta m$ – изменение массы
Начальное условие равновесия: $M_1 = M_2$

Найти:

Нарушится ли равновесие, если массы станут $m'_1 = m_1 \pm \Delta m$ и $m'_2 = m_2 \pm \Delta m$?

Решение:

Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Момент силы $\text{M}$ равен произведению силы $\text{F}$ на плечо $\text{l}$: $M = F \cdot l$. Сила, действующая на каждое плечо, – это вес груза $F = mg$, где $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Изначально рычаг находится в равновесии, это значит, что моменты сил, создаваемые грузами, равны:

$M_1 = M_2$

$m_1 g l_1 = m_2 g l_2$

Сократив на $\text{g}$, получим основное соотношение для равновесия:

$m_1 l_1 = m_2 l_2$ (1)

Поскольку по условию рычаг неравноплечий ($l_1 \neq l_2$), для выполнения равновесия массы грузов также должны быть не равны ($m_1 \neq m_2$). В частности, на более длинном плече должна быть подвешена меньшая масса.

Теперь изменим массу каждого груза на одно и то же значение $\Delta m$. Новые массы будут равны $m'_1 = m_1 \pm \Delta m$ и $m'_2 = m_2 \pm \Delta m$.

Найдем новые моменты сил $M'_1$ и $M'_2$:

$M'_1 = (m_1 \pm \Delta m) g l_1 = m_1 g l_1 \pm \Delta m g l_1$

$M'_2 = (m_2 \pm \Delta m) g l_2 = m_2 g l_2 \pm \Delta m g l_2$

Чтобы рычаг остался в равновесии, новые моменты должны быть равны: $M'_1 = M'_2$.

$m_1 g l_1 \pm \Delta m g l_1 = m_2 g l_2 \pm \Delta m g l_2$

Из первоначального условия равновесия (1) мы знаем, что $m_1 g l_1 = m_2 g l_2$. Подставим это в новое уравнение и сократим равные части:

$\pm \Delta m g l_1 = \pm \Delta m g l_2$

Сократив на $\pm \Delta m g$ (при условии, что $\Delta m \neq 0$), получим:

$l_1 = l_2$

Это равенство противоречит условию задачи, в котором сказано, что рычаг неравноплечий ($l_1 \neq l_2$). Следовательно, новые моменты сил не будут равны ($M'_1 \neq M'_2$), и равновесие рычага нарушится.

Изменение момента силы на каждом плече равно $\Delta M_1 = \pm \Delta m g l_1$ и $\Delta M_2 = \pm \Delta m g l_2$. Поскольку $l_1 \neq l_2$, то и абсолютные величины изменений моментов не равны: $|\Delta M_1| \neq |\Delta M_2|$. Момент силы изменится больше на том плече, которое длиннее. Таким образом, плечо с большей длиной "перевесит" при увеличении массы и "поднимется" (уступит другому плечу) при уменьшении массы.

Ответ: Да, равновесие нарушится. При изменении масс грузов на одинаковую величину $\Delta m$, моменты сил на плечах изменятся на разные величины ($\Delta m g l_1$ и $\Delta m g l_2$), так как плечи рычага $l_1$ и $l_2$ не равны. Это приведет к возникновению нескомпенсированного вращающего момента, который выведет рычаг из состояния равновесия.