Номер 407, страница 56 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Давление в жидкости и газе. Закон Паскаля - номер 407, страница 56.

Условие.

* 407. До какой высоты $\text{h}$ следует налить однородную жидкость в сосуд, имеющий форму куба со стороной $\text{a}$, чтобы сила давления жидкости на дно сосуда была равна силе давления жидкости на его боковые стенки?

Решение.

Дано:

Сосуд в форме куба со стороной $\text{a}$

Однородная жидкость плотностью $\rho$

Высота уровня жидкости $\text{h}$

Сила давления на дно $F_{дно}$

Суммарная сила давления на боковые стенки $F_{бок}$

Условие: $F_{дно} = F_{бок}$

Найти:

$\text{h}$ - ?

Решение:

Сила давления жидкости на дно сосуда ($F_{дно}$) равна произведению гидростатического давления на дно ($p_{дно}$) на площадь дна ($S_{дно}$).

Давление на дно создается столбом жидкости высотой $\text{h}$ и является постоянным по всей площади дна:

$p_{дно} = \rho g h$

где $\rho$ – плотность жидкости, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Площадь дна куба со стороной $\text{a}$ равна:

$S_{дно} = a^2$

Таким образом, сила давления на дно:

$F_{дно} = p_{дно} \cdot S_{дно} = \rho g h a^2$

Давление на боковые стенки не является постоянным, оно увеличивается с глубиной от 0 на поверхности жидкости до $p_{дно}$ у дна. Поскольку давление изменяется линейно, для расчета силы давления на одну боковую стенку можно использовать среднее давление:

$p_{ср} = \frac{0 + \rho g h}{2} = \frac{1}{2}\rho g h$

Площадь смоченной части одной боковой стенки равна:

$S_{1бок} = a \cdot h$

Сила давления на одну боковую стенку:

$F_{1бок} = p_{ср} \cdot S_{1бок} = \frac{1}{2}\rho g h \cdot a h = \frac{1}{2}\rho g a h^2$

Сосуд имеет четыре одинаковые боковые стенки, поэтому суммарная сила давления на них ($F_{бок}$) равна:

$F_{бок} = 4 \cdot F_{1бок} = 4 \cdot \frac{1}{2}\rho g a h^2 = 2\rho g a h^2$

Согласно условию задачи, сила давления на дно равна суммарной силе давления на боковые стенки: $F_{дно} = F_{бок}$. Приравняем полученные выражения:

$\rho g h a^2 = 2\rho g a h^2$

Сократим обе части уравнения на $\rho g a h$ (поскольку ищем нетривиальное решение, где $h \neq 0$):

$a = 2h$

Отсюда выразим искомую высоту $\text{h}$:

$h = \frac{a}{2}$

Ответ: чтобы сила давления жидкости на дно сосуда была равна силе давления на его боковые стенки, жидкость следует налить до высоты $h = \frac{a}{2}$.