Номер 508, страница 69 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 508, страница 69.

Условие.

508. Почему стеклянная бутылка, наполненная ртутью, плавает в ртути, а бутылка, наполненная водой, тонет в воде?

Решение.

Дано:

Случай 1: Стеклянная бутылка, наполненная ртутью, помещена в ртуть.
Случай 2: Стеклянная бутылка, наполненная водой, помещена в воду.
Плотность стекла: $\rho_{ст} \approx 2500 \frac{кг}{м^3}$
Плотность ртути: $\rho_{рт} \approx 13600 \frac{кг}{м^3}$
Плотность воды: $\rho_{в} \approx 1000 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

Объяснить, почему в первом случае бутылка плавает, а во втором — тонет.

Решение:

Условие плавания тела в жидкости определяется соотношением между средней плотностью тела ($\rho_{ср.тела}$) и плотностью жидкости ($\rho_{жидкости}$). Тело плавает, если его средняя плотность меньше или равна плотности жидкости ($\rho_{ср.тела} \le \rho_{жидкости}$), и тонет, если его средняя плотность больше плотности жидкости ($\rho_{ср.тела} > \rho_{жидкости}$).

В данной задаче телом является стеклянная бутылка вместе с её содержимым. Обозначим:
$V_{вн}$ – внутренний объем бутылки (объем содержимого).
$V_{ст}$ – объем стекла, из которого сделана бутылка.
$V_{внеш}$ – внешний объем бутылки, который равен $V_{внеш} = V_{вн} + V_{ст}$.

Стеклянная бутылка, наполненная ртутью, плавает в ртути

Рассмотрим первый случай. Средняя плотность системы «бутылка + ртуть внутри» ($\rho_{ср1}$) рассчитывается как отношение её полной массы ($m_{1}$) к её внешнему объему ($V_{внеш}$): $$ \rho_{ср1} = \frac{m_{1}}{V_{внеш}} $$ Полная масса складывается из массы стекла ($m_{ст}$) и массы ртути внутри ($m_{рт.вн}$): $$ m_{1} = m_{ст} + m_{рт.вн} = \rho_{ст}V_{ст} + \rho_{рт}V_{вн} $$ Тогда средняя плотность: $$ \rho_{ср1} = \frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{рт}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}} $$ Для того чтобы бутылка плавала, необходимо, чтобы её средняя плотность была меньше или равна плотности окружающей жидкости (ртути): $\rho_{ср1} \le \rho_{рт}$. Проверим это условие: $$ \frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{рт}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}} \le \rho_{рт} $$ Умножим обе части неравенства на положительную величину $V_{ст} + V_{вн}$: $$ \rho_{ст}V_{ст} + \rho_{рт}V_{вн} \le \rho_{рт}(V_{ст} + V_{вн}) $$ $$ \rho_{ст}V_{ст} + \rho_{рт}V_{вн} \le \rho_{рт}V_{ст} + \rho_{рт}V_{вн} $$ Вычтем из обеих частей $\rho_{рт}V_{вн}$: $$ \rho_{ст}V_{ст} \le \rho_{рт}V_{ст} $$ Поскольку объем стекла $V_{ст} > 0$, можно разделить обе части на $V_{ст}$: $$ \rho_{ст} \le \rho_{рт} $$ Сравним табличные значения плотностей: $2500 \frac{кг}{м^3} < 13600 \frac{кг}{м^3}$. Неравенство выполняется, следовательно, бутылка будет плавать.

Ответ: Бутылка с ртутью плавает в ртути, потому что средняя плотность системы «бутылка + ртуть» оказывается меньше плотности ртути. Математически это сводится к тому, что плотность стекла меньше плотности ртути.

Бутылка, наполненная водой, тонет в воде

Рассмотрим второй случай. Средняя плотность системы «бутылка + вода внутри» ($\rho_{ср2}$) рассчитывается аналогично: $$ \rho_{ср2} = \frac{m_{2}}{V_{внеш}} = \frac{m_{ст} + m_{в.вн}}{V_{внеш}} = \frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{в}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}} $$ Для того чтобы бутылка тонула, необходимо, чтобы её средняя плотность была больше плотности окружающей жидкости (воды): $\rho_{ср2} > \rho_{в}$. Проверим это условие: $$ \frac{\rho_{ст}V_{ст} + \rho_{в}V_{вн}}{V_{ст} + V_{вн}} > \rho_{в} $$ Умножим обе части на $V_{ст} + V_{вн}$: $$ \rho_{ст}V_{ст} + \rho_{в}V_{вн} > \rho_{в}(V_{ст} + V_{вн}) $$ $$ \rho_{ст}V_{ст} + \rho_{в}V_{вн} > \rho_{в}V_{ст} + \rho_{в}V_{вн} $$ Вычтем из обеих частей $\rho_{в}V_{вн}$: $$ \rho_{ст}V_{ст} > \rho_{в}V_{ст} $$ Разделим обе части на $V_{ст}$ ($V_{ст} > 0$): $$ \rho_{ст} > \rho_{в} $$ Сравним табличные значения плотностей: $2500 \frac{кг}{м^3} > 1000 \frac{кг}{м^3}$. Неравенство выполняется, следовательно, бутылка будет тонуть.

Ответ: Бутылка с водой тонет в воде, потому что средняя плотность системы «бутылка + вода» оказывается больше плотности воды. Математически это сводится к тому, что плотность стекла больше плотности воды.