Номер 514, страница 69 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 514, страница 69.

Условие.

514. Полиэтиленовый мешочек наполнен водой. Будет ли он плавать в воде; в глицерине? Плотность полиэтилена 900 $кг/м^3$.

Решение.

Дано:

Плотность полиэтилена $\rho_{п} = 900 \text{ кг/м}^3$.

Для решения задачи также потребуются справочные данные:

Плотность пресной воды $\rho_{в} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$.

Плотность глицерина $\rho_{г} \approx 1260 \text{ кг/м}^3$.

Найти:

Будет ли мешочек с водой плавать в воде.

Будет ли мешочек с водой плавать в глицерине.

Решение:

Условие плавания тела в жидкости определяется соотношением средней плотности тела $\rho_{ср}$ и плотности жидкости $\rho_{ж}$. Тело будет плавать на поверхности жидкости, если его средняя плотность меньше плотности жидкости ($\rho_{ср} < \rho_{ж}$).

В данном случае тело представляет собой систему, состоящую из полиэтиленового мешочка и воды, которой он наполнен. Чтобы определить, будет ли эта система плавать, необходимо найти её среднюю плотность.

Пусть $V_{в}$ — объём воды внутри мешочка, а $V_{п}$ — объём материала мешочка (полиэтилена). Тогда масса воды $m_{в} = \rho_{в} V_{в}$, а масса мешочка $m_{п} = \rho_{п} V_{п}$.

Общая масса системы: $M = m_{в} + m_{п} = \rho_{в} V_{в} + \rho_{п} V_{п}$.

Общий объём системы: $V = V_{в} + V_{п}$.

Средняя плотность системы вычисляется по формуле:

$\rho_{ср} = \frac{M}{V} = \frac{\rho_{в} V_{в} + \rho_{п} V_{п}}{V_{в} + V_{п}}$

в воде

Сравним среднюю плотность мешочка с водой $\rho_{ср}$ с плотностью воды $\rho_{в}$.

Из условия задачи и справочных данных мы знаем, что плотность полиэтилена меньше плотности воды: $\rho_{п} < \rho_{в}$ ($900 \text{ кг/м}^3 < 1000 \text{ кг/м}^3$).

Исходя из этого неравенства, докажем, что средняя плотность системы также меньше плотности воды.

Так как $\rho_{п} < \rho_{в}$, то, умножив обе части на положительный объём $V_{п}$, получим: $\rho_{п} V_{п} < \rho_{в} V_{п}$.

Прибавим к обеим частям неравенства слагаемое $\rho_{в} V_{в}$:

$\rho_{в} V_{в} + \rho_{п} V_{п} < \rho_{в} V_{в} + \rho_{в} V_{п}$

Левая часть — это общая масса системы $\text{M}$. В правой части вынесем $\rho_{в}$ за скобки:

$M < \rho_{в} (V_{в} + V_{п})$

Выражение в скобках — это общий объём системы $\text{V}$.

$M < \rho_{в} V$

Разделим обе части на общий объём $\text{V}$:

$\frac{M}{V} < \rho_{в}$

Так как $\frac{M}{V} = \rho_{ср}$, то получаем $\rho_{ср} < \rho_{в}$.

Поскольку средняя плотность мешочка с водой меньше плотности окружающей воды, он будет плавать.

Ответ: Да, мешочек с водой будет плавать в воде.

в глицерине

Теперь сравним среднюю плотность мешочка с водой $\rho_{ср}$ с плотностью глицерина $\rho_{г}$.

В предыдущем пункте мы установили, что средняя плотность системы меньше плотности воды: $\rho_{ср} < \rho_{в}$.

Плотность воды ($\rho_{в} \approx 1000 \text{ кг/м}^3$) в свою очередь меньше плотности глицерина ($\rho_{г} \approx 1260 \text{ кг/м}^3$).

Таким образом, мы можем составить двойное неравенство: $\rho_{ср} < \rho_{в} < \rho_{г}$.

Из этого неравенства напрямую следует, что $\rho_{ср} < \rho_{г}$.

Поскольку средняя плотность мешочка с водой меньше плотности глицерина, он будет плавать в глицерине.

Ответ: Да, мешочек с водой будет плавать в глицерине.