Номер 564, страница 78 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 564, страница 78.

Условие.

* 564. Объём надводной части айсберга равен 5000 м³. Определите объём всего айсберга.

Решение.

Дано:

Объём надводной части айсберга: $V_{надв} = 5000 \text{ м}^3$

Для решения задачи используются справочные значения плотностей:

Плотность льда: $\rho_л \approx 900 \text{ кг/м}^3$

Плотность воды: $\rho_в \approx 1000 \text{ кг/м}^3$ (для упрощения расчетов, характерного для школьных задач, принимаем плотность пресной воды)

Данные представлены в системе СИ.

Найти:

$V_{общ}$ — ?

Решение:

Айсберг плавает в воде, следовательно, сила тяжести $F_т$, действующая на него, уравновешена выталкивающей силой Архимеда $F_A$.

Условие плавания тела можно записать в виде равенства: $F_т = F_A$.

Сила тяжести определяется как произведение массы айсберга $\text{m}$ на ускорение свободного падения $\text{g}$. Массу можно выразить через плотность льда $\rho_л$ и его общий объём $V_{общ}$:

$F_т = m \cdot g = \rho_л \cdot V_{общ} \cdot g$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Она определяется как произведение плотности воды $\rho_в$, ускорения свободного падения $\text{g}$ и объёма погруженной (подводной) части айсберга $V_{подв}$:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{подв}$

Приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$\rho_л \cdot V_{общ} \cdot g = \rho_в \cdot g \cdot V_{подв}$

Ускорение свободного падения $\text{g}$ можно сократить:

$\rho_л \cdot V_{общ} = \rho_в \cdot V_{подв}$

Общий объём айсберга $V_{общ}$ является суммой его надводной $V_{надв}$ и подводной $V_{подв}$ частей:

$V_{общ} = V_{надв} + V_{подв}$

Из этого соотношения выразим объём подводной части:

$V_{подв} = V_{общ} - V_{надв}$

Теперь подставим это выражение в уравнение равновесия сил:

$\rho_л \cdot V_{общ} = \rho_в \cdot (V_{общ} - V_{надв})$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы выразить искомую величину $V_{общ}$:

$\rho_л \cdot V_{общ} = \rho_в \cdot V_{общ} - \rho_в \cdot V_{надв}$

$\rho_в \cdot V_{надв} = \rho_в \cdot V_{общ} - \rho_л \cdot V_{общ}$

$\rho_в \cdot V_{надв} = V_{общ} \cdot (\rho_в - \rho_л)$

Отсюда находим общий объём айсберга:

$V_{общ} = \frac{\rho_в \cdot V_{надв}}{\rho_в - \rho_л}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$V_{общ} = \frac{1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 5000 \text{ м}^3}{1000 \frac{кг}{м^3} - 900 \frac{кг}{м^3}} = \frac{5000000 \text{ кг}}{100 \frac{кг}{м^3}} = 50000 \text{ м}^3$

Ответ: объём всего айсберга равен $50000 \text{ м}^3$.