Номер 566, страница 79 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 566, страница 79.

Условие.

566. Туристы решили смастерить плот из брёвен плотностью $600 \text{ кг/м}^3$ и объёмом $0,2 \text{ м}^3$. В команду входит 10 человек. Сколько нужно взять брёвен, чтобы плот оставался на плаву? Считать, что в среднем масса каждого человека 80 кг, взятый на плот груз (запас питания, снаряжение) имеет массу 100 кг. Учтите, что количество брёвен должно быть целым числом.

Решение.

Дано:

Плотность брёвен, $\rho_{б} = 600$ кг/м³

Объём одного бревна, $V_{б} = 0,2$ м³

Количество человек, $N = 10$

Средняя масса одного человека, $m_{ч} = 80$ кг

Масса груза, $m_{г} = 100$ кг

Плотность воды, $\rho_{в} = 1000$ кг/м³ (табличное значение)

Найти:

Минимальное количество брёвен, $\text{n}$ - ?

Решение:

Для того чтобы плот оставался на плаву, выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на плот, должна быть не меньше, чем суммарная сила тяжести плота, людей и груза. Предельным случаем является полное погружение плота в воду.

Условие плавания тела: $F_A \ge P_{общ}$, где $F_A$ – сила Архимеда, $P_{общ}$ – общий вес плота с грузом.

Сила Архимеда, действующая на полностью погруженный плот, равна весу вытесненной воды:

$F_A = \rho_в \cdot g \cdot V_{плота}$

Объём плота, состоящего из $\text{n}$ брёвен, равен: $V_{плота} = n \cdot V_б$.

Тогда максимальная выталкивающая сила: $F_A = \rho_в \cdot g \cdot n \cdot V_б$.

Общий вес плота с людьми и грузом складывается из веса брёвен, веса людей и веса груза:

$P_{общ} = P_б + P_л + P_г$

Вес брёвен: $P_б = m_{плота} \cdot g = (\rho_б \cdot V_{плота}) \cdot g = \rho_б \cdot n \cdot V_б \cdot g$.

Вес людей: $P_л = (N \cdot m_ч) \cdot g$.

Вес груза: $P_г = m_г \cdot g$.

Таким образом, $P_{общ} = (\rho_б \cdot n \cdot V_б + N \cdot m_ч + m_г) \cdot g$.

Подставим выражения для $F_A$ и $P_{общ}$ в условие плавания:

$\rho_в \cdot g \cdot n \cdot V_б \ge (\rho_б \cdot n \cdot V_б + N \cdot m_ч + m_г) \cdot g$

Сократим обе части на $\text{g}$:

$\rho_в \cdot n \cdot V_б \ge \rho_б \cdot n \cdot V_б + N \cdot m_ч + m_г$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить $\text{n}$:

$n \cdot V_б \cdot (\rho_в - \rho_б) \ge N \cdot m_ч + m_г$

$n \ge \frac{N \cdot m_ч + m_г}{V_б \cdot (\rho_в - \rho_б)}$

Подставим числовые значения:

$n \ge \frac{10 \cdot 80 + 100}{0,2 \cdot (1000 - 600)}$

$n \ge \frac{800 + 100}{0,2 \cdot 400}$

$n \ge \frac{900}{80}$

$n \ge 11,25$

Поскольку количество брёвен должно быть целым числом, необходимо взять следующее большее целое число, то есть 12.

Ответ: нужно взять 12 брёвен.