Номер 560, страница 78 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Давление твёрдых тел, жидкостей и газов. Архимедова сила. Плавание тел. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 560, страница 78.

Условие.

* 560. Для транспортировки стальных труб морем их заваривают с двух сторон так, чтобы они были водонепроницаемы. Определите, при каком наименьшем внутреннем диаметре труба массой 3,9 т и длиной 5 м не утонет.

Решение.

Дано:

Масса трубы, $m = 3,9 \text{ т}$

Длина трубы, $L = 5 \text{ м}$

Плотность морской воды (приближенное значение), $\rho_{в} = 1030 \text{ кг/м}^3$

Плотность стали (приближенное значение), $\rho_{ст} = 7850 \text{ кг/м}^3$

Перевод в систему СИ:

$m = 3,9 \cdot 1000 \text{ кг} = 3900 \text{ кг}$

Найти:

Наименьший внутренний диаметр трубы, $d_{вн}$

Решение:

Для того чтобы труба не утонула, выталкивающая сила Архимеда $F_A$, действующая на нее, должна быть не меньше силы тяжести $F_т$. Условие плавания тела:

$F_A \ge F_т$

Наименьший внутренний диаметр соответствует предельному случаю, когда труба полностью погружена в воду, и ее вес уравновешен силой Архимеда. В этом случае плавучесть нейтральна:

$F_A = F_т$

Сила тяжести определяется массой трубы $\text{m}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$:

$F_т = m \cdot g$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Так как труба полностью погружена, объем вытесненной жидкости равен внешнему объему трубы $V_{внеш}$. Плотность морской воды обозначим как $\rho_{в}$:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{внеш}$

Приравнивая силы, получаем:

$\rho_{в} \cdot g \cdot V_{внеш} = m \cdot g$

Сократив $\text{g}$, получим условие для минимального внешнего объема трубы, необходимого для плавания:

$V_{внеш} = \frac{m}{\rho_{в}}$

С другой стороны, масса трубы равна произведению объема стали, из которой она сделана ($V_{ст}$), на плотность стали ($\rho_{ст}$):

$m = V_{ст} \cdot \rho_{ст}$, откуда объем стали равен $V_{ст} = \frac{m}{\rho_{ст}}$

Объем стали также является разностью между внешним и внутренним объемами трубы:

$V_{ст} = V_{внеш} - V_{вн}$

Из этого соотношения можно выразить внутренний объем трубы $V_{вн}$:

$V_{вн} = V_{внеш} - V_{ст}$

Подставим выражения для $V_{внеш}$ и $V_{ст}$:

$V_{вн} = \frac{m}{\rho_{в}} - \frac{m}{\rho_{ст}} = m \left( \frac{1}{\rho_{в}} - \frac{1}{\rho_{ст}} \right)$

Внутренний объем трубы, как цилиндра, связан с ее внутренним диаметром $d_{вн}$ и длиной $\text{L}$ формулой:

$V_{вн} = \frac{\pi d_{вн}^2}{4} \cdot L$

Приравняв два полученных выражения для $V_{вн}$, найдем искомый диаметр:

$\frac{\pi d_{вн}^2}{4} \cdot L = m \left( \frac{1}{\rho_{в}} - \frac{1}{\rho_{ст}} \right)$

Отсюда выражаем $d_{вн}^2$:

$d_{вн}^2 = \frac{4m}{\pi L} \left( \frac{1}{\rho_{в}} - \frac{1}{\rho_{ст}} \right) = \frac{4m}{\pi L} \left( \frac{\rho_{ст} - \rho_{в}}{\rho_{в} \rho_{ст}} \right)$

Следовательно, искомый диаметр равен:

$d_{вн} = \sqrt{\frac{4m}{\pi L} \left( \frac{\rho_{ст} - \rho_{в}}{\rho_{в} \rho_{ст}} \right)}$

Подставим числовые значения в итоговую формулу:

$d_{вн} = \sqrt{\frac{4 \cdot 3900}{3,14 \cdot 5} \left( \frac{7850 - 1030}{1030 \cdot 7850} \right)} = \sqrt{\frac{15600}{15,7} \left( \frac{6820}{8085500} \right)} \approx \sqrt{993,6 \cdot 0,000843} \approx \sqrt{0,838} \approx 0,915 \text{ м}$

Округляя результат до двух значащих цифр (в соответствии с наименее точным из заданных значений $m = 3,9$ т), получаем 0,92 м.

Ответ: $d_{вн} \approx 0,92 \text{ м}$.