✓вопрос в начале, страница 196 - гдз по физике 7 класс учебник Пурышева, Важеевская

✓ На каком расстоянии от линзы должен располагаться предмет, чтобы на экране получилось его уменьшенное изображение; увеличенное изображение?

Для того чтобы на экране получилось изображение предмета, оно должно быть действительным. Действительное изображение может дать только собирающая (выпуклая) линза. Рассеивающая (вогнутая) линза всегда даёт мнимое изображение, которое нельзя получить на экране. Поэтому в задаче рассматривается собирающая линза.

Для анализа воспользуемся формулой тонкой линзы и формулой для линейного увеличения.

Формула тонкой линзы: $ \frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F} $, где $d$ — расстояние от предмета до линзы, $f$ — расстояние от линзы до изображения, $F$ — фокусное расстояние линзы. Для собирающей линзы $F > 0$. Для действительного изображения, которое можно получить на экране, $f > 0$.

Линейное увеличение линзы $G$ (или $\Gamma$) определяется как отношение размера изображения $H$ к размеру предмета $h$. Для действительного изображения оно также равно отношению расстояния до изображения к расстоянию до предмета: $G = \frac{f}{d}$.

уменьшенное изображение

Решение

Чтобы изображение было уменьшенным, его размер должен быть меньше размера предмета, следовательно, линейное увеличение $G$ должно быть меньше 1: $G < 1$

Из формулы для увеличения следует: $\frac{f}{d} < 1 \implies f < d$

Выразим расстояние до изображения $f$ из формулы тонкой линзы: $\frac{1}{f} = \frac{1}{F} - \frac{1}{d} = \frac{d-F}{dF}$ $f = \frac{dF}{d-F}$

Подставим это выражение в наше неравенство $f < d$: $\frac{dF}{d-F} < d$

Поскольку изображение действительное, предмет должен находиться за фокусом, то есть $d > F$. Это означает, что знаменатель $(d-F)$ положителен. Так как расстояние $d$ также положительно, мы можем разделить обе части неравенства на $d$ и затем умножить на $(d-F)$, сохраняя знак неравенства: $\frac{F}{d-F} < 1$ $F < d-F$ $2F < d$

Таким образом, для получения уменьшенного действительного изображения предмет необходимо расположить на расстоянии от линзы, которое больше её двойного фокусного расстояния.

Ответ: Предмет должен располагаться на расстоянии от линзы, превышающем её двойное фокусное расстояние ($d > 2F$).

увеличенное изображение

Решение

Чтобы изображение было увеличенным, его размер должен быть больше размера предмета, следовательно, линейное увеличение $G$ должно быть больше 1: $G > 1$

Из формулы для увеличения следует: $\frac{f}{d} > 1 \implies f > d$

Используем то же выражение для $f$, что и в предыдущем пункте, и подставим его в новое неравенство: $\frac{dF}{d-F} > d$

При условии $d > F$ (необходимом для получения действительного изображения), знаменатель $(d-F)$ положителен. Упростим неравенство, разделив на $d$: $\frac{F}{d-F} > 1$ $F > d-F$ $2F > d$

Мы получили условие $d < 2F$. Объединяя его с исходным условием для получения действительного изображения ($d > F$), получаем итоговый диапазон для расстояния $d$: $F < d < 2F$

Следовательно, для получения увеличенного действительного изображения предмет нужно расположить между фокусом и двойным фокусом линзы.

Ответ: Предмет должен располагаться на расстоянии от линзы, большем фокусного, но меньшем двойного фокусного расстояния ($F < d < 2F$).