Номер 6.25, страница 37 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

6.25. Докажите, что биссектриса смежных углов образует прямой угол.

Пусть даны два смежных угла, например $\angle AOC$ и $\angle BOC$. По определению, смежные углы имеют общую вершину $O$ и одну общую сторону $OC$, а две другие их стороны, $OA$ и $OB$, являются дополнительными полупрямыми, то есть образуют прямую линию.

Основное свойство смежных углов заключается в том, что их сумма всегда равна $180^\circ$ (развернутый угол): $\angle AOC + \angle BOC = 180^\circ$.

Проведем биссектрису $OM$ угла $\angle AOC$. По определению биссектрисы, она делит угол на два равных угла. Таким образом, угол $\angle MOC$ составляет половину угла $\angle AOC$: $\angle MOC = \frac{1}{2} \angle AOC$.

Аналогично, проведем биссектрису $ON$ угла $\angle BOC$. Угол $\angle CON$ будет равен половине угла $\angle BOC$: $\angle CON = \frac{1}{2} \angle BOC$.

Угол, образованный биссектрисами $OM$ и $ON$, это угол $\angle MON$. Он складывается из двух углов, $\angle MOC$ и $\angle CON$, так как общая сторона $OC$ смежных углов находится между биссектрисами. Следовательно, его величина равна их сумме: $\angle MON = \angle MOC + \angle CON$.

Теперь подставим в это равенство выражения для $\angle MOC$ и $\angle CON$, полученные ранее: $\angle MON = \frac{1}{2} \angle AOC + \frac{1}{2} \angle BOC$.

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}$ за скобки, чтобы сгруппировать исходные смежные углы: $\angle MON = \frac{1}{2} (\angle AOC + \angle BOC)$.

Мы знаем, что сумма смежных углов $\angle AOC$ и $\angle BOC$ равна $180^\circ$. Подставим это значение в нашу формулу: $\angle MON = \frac{1}{2} \cdot 180^\circ$.

Выполнив простое вычисление, находим величину угла $\angle MON$: $\angle MON = 90^\circ$.

Поскольку угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен $90^\circ$, он является прямым углом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Угол, образованный биссектрисами смежных углов, равен половине суммы этих углов, то есть $\frac{1}{2} \cdot 180^\circ = 90^\circ$. Следовательно, он является прямым углом.