Проверь себя!, страница 38 - гдз по геометрии 7 класс учебник Смирнов, Туяков

ПРОВЕРЬ СЕБЯ!

1. Сколько прямых можно провести через одну точку?

А. Ни одной.

В. Одну.

С. Две.

D. Бесконечно много.

2. Сколько прямых можно провести через две точки?

А. Бесконечно много.

В. Две.

С. Одну.

D. Ни одной.

3. Какое наибольшее число общих точек могут иметь две прямые?

А. Ни одной.

В. Одну.

С. Две.

D. Бесконечно много.

4. Сколько прямых можно провести через различные пары из трех точек, не принадлежащих одной прямой?

А. Одну.

В. Две.

С. Три.

D. Бесконечно много.

5. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из четырех точек, три из которых не принадлежат одной прямой?

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 12.

6. Какое наибольшее число прямых можно провести через различные пары из пяти точек, три из которых не принадлежат одной прямой?

A. 5.

B. 10.

C. 15.

D. 20.

7. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь три прямые?

А. Одну.

В. Две.

С. Три.

D. Бесконечно много.

8. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь четыре прямые?

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 12.

9. Какое наибольшее число точек попарных пересечений могут иметь пять прямых?

A. 5.

B. 10.

C. 15.

D. 20.

10. На прямой отмечены 4 точки. Сколько получилось отрезков с концами в этих точках?

A. 3.

B. 4.

C. 5.

D. 6.

11. На луче ОА отложен отрезок ОВ, меньше отрезка ОА. Какая из трех точек лежит между двумя другими?

A. А.

В. О.

С. В.

D. Нельзя определить.

12. На прямой в одну сторону последовательно отложены три отрезка: АВ, ВС и CD так, что $AB = 3 \text{ см}$, $BC = 5 \text{ см}$, $CD = 4 \text{ см}$. Найдите расстояние между серединами отрезков АВ и CD:

А. $6,5 \text{ см}$.

В. $7,5 \text{ см}$.

С. $8,5 \text{ см}$.

D. $10,5 \text{ см}$.

13. Сколько имеется углов, смежных данному?

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

14. Один из смежных углов равен $30^\circ$. Найдите другой угол:

A. $30^\circ$.

B. $60^\circ$.

C. $120^\circ$.

D. $150^\circ$.

15. Один из смежных углов больше другого на $90^\circ$. Найдите эти углы:

A. $90^\circ$, $180^\circ$.

B. $30^\circ$, $120^\circ$.

C. $60^\circ$, $150^\circ$.

D. $45^\circ$, $135^\circ$.

16. Один из смежных углов в три раза меньше другого. Найдите эти углы:

A. $45^\circ$, $135^\circ$.

B. $60^\circ$, $120^\circ$.

C. $30^\circ$, $90^\circ$.

D. $15^\circ$, $45^\circ$.

17. Один из смежных углов составляет $20\%$ другого. Найдите эти углы:

A. $20^\circ$, $160^\circ$.

B. $45^\circ$, $135^\circ$.

C. $60^\circ$, $120^\circ$.

D. $30^\circ$, $150^\circ$.

18. Сумма двух вертикальных углов, образованных двумя прямыми, равна $150^\circ$. Найдите все углы, образованные этими прямыми:

A. $60^\circ$, $120^\circ$, $60^\circ$, $120^\circ$.

B. $30^\circ$, $150^\circ$, $30^\circ$, $150^\circ$.

C. $75^\circ$, $105^\circ$, $75^\circ$, $105^\circ$.

D. $50^\circ$, $130^\circ$, $50^\circ$, $130^\circ$.

19. На какой угол повернется минутная стрелка за 20 мин?

A. $30^\circ$.

B. $60^\circ$.

C. $90^\circ$.

D. $120^\circ$.

20. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки в 13 ч 30 мин?

A. $90^\circ$.

B. $120^\circ$.

C. $135^\circ$.

D. $150^\circ$.

1.Согласно аксиоме геометрии, через любую точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Представьте точку как центр, а прямую как спицу, проходящую через этот центр. Мы можем вращать эту спицу на любой угол и каждый раз получать новую прямую, проходящую через ту же точку.

Ответ: D. Бесконечно много.

2.Согласно основной аксиоме планиметрии, через любые две различные точки на плоскости можно провести прямую, и притом только одну.

Ответ: C. Одну.

3.Две различные прямые на плоскости могут либо пересекаться, либо быть параллельными. Если они параллельны, у них нет общих точек. Если они пересекаются, у них есть ровно одна общая точка. Случай, когда прямые совпадают и имеют бесконечно много общих точек, обычно рассматривается как вырожденный. В стандартной постановке вопроса, когда говорят о двух прямых, подразумевают две различные прямые. Таким образом, наибольшее число общих точек для двух различных прямых — одна.

Ответ: B. Одну.

4.У нас есть три точки, которые не лежат на одной прямой. Обозначим их A, B и C. Через каждые две точки можно провести одну прямую. Таким образом, мы можем провести прямые через пары точек (A, B), (B, C) и (A, C). Всего получается 3 прямые. Это также можно рассчитать по формуле числа сочетаний из 3 по 2: $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.

Ответ: C. Три.

5.Чтобы найти наибольшее число прямых, нужно расположить точки так, чтобы никакие три из них не лежали на одной прямой. В этом случае каждая пара точек будет определять уникальную прямую. Задача сводится к нахождению числа пар, которые можно составить из 4 точек. Это число сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$. Условие "три из которых не принадлежат одной прямой" как раз и гарантирует, что не все четыре точки лежат на одной прямой, что позволяет получить более одной прямой.

Ответ: B. 6.

6.Аналогично предыдущей задаче, для получения наибольшего числа прямых нужно, чтобы никакие три точки из пяти не лежали на одной прямой. Тогда число прямых будет равно числу способов выбрать 2 точки из 5. Это число сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Ответ: B. 10.

7.Чтобы получить наибольшее число точек пересечения, три прямые должны попарно пересекаться в разных точках (т.е. не быть параллельными и не пересекаться все в одной точке). В этом случае прямые образуют треугольник. Каждая пара прямых дает одну точку пересечения. Количество пар, которые можно составить из 3 прямых, равно $C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = 3$.

Ответ: C. Три.

8.Для получения наибольшего числа точек пересечения для четырех прямых, необходимо, чтобы никакие две прямые не были параллельны и никакие три не пересекались в одной точке. Число точек пересечения будет равно числу пар прямых, которые можно образовать из четырех. Это число сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Ответ: B. 6.

9.Для пяти прямых наибольшее число точек пересечения достигается, когда никакие две прямые не параллельны и никакие три не проходят через одну точку. Число точек пересечения равно числу пар прямых, то есть числу сочетаний из 5 по 2: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.

Ответ: B. 10.

10.Отрезок определяется двумя точками, которые являются его концами. Чтобы найти количество отрезков, нужно найти количество способов выбрать 2 точки из 4. Это число сочетаний из 4 по 2: $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Ответ: D. 6.

11.Луч OA начинается в точке O и проходит через точку A. На этот луч отложены отрезки OA и OB. По условию, длина отрезка OB меньше длины отрезка OA ($OB < OA$). Это означает, что точка B находится на луче OA ближе к началу O, чем точка A. Таким образом, порядок точек на луче: O, B, A. Следовательно, точка B лежит между точками O и A.

Ответ: C. В.

12.Пусть точка A имеет координату 0. Так как отрезки отложены последовательно, то координаты точек будут: $A=0$, $B=3$, $C=3+5=8$, $D=8+4=12$. Середина отрезка AB, назовем ее M, имеет координату $M = \frac{0+3}{2} = 1.5$. Середина отрезка CD, назовем ее N, имеет координату $N = \frac{8+12}{2} = 10$. Расстояние между серединами M и N равно разности их координат: $10 - 1.5 = 8.5$ см. Другой способ: расстояние равно сумме половины первого отрезка, целого среднего отрезка и половины последнего отрезка: $\frac{AB}{2} + BC + \frac{CD}{2} = \frac{3}{2} + 5 + \frac{4}{2} = 1.5 + 5 + 2 = 8.5$ см.

Ответ: C. 8,5 см.

13.Смежные углы — это пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями друг друга (образуют прямую). Для любого заданного угла можно продлить каждую из его сторон за вершину. Каждое продление образует один смежный угол. Так как у угла две стороны, то можно образовать два смежных угла.

Ответ: B. 2.

14.Сумма смежных углов равна $180^\circ$. Если один из углов равен $30^\circ$, то второй угол будет равен $180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.

Ответ: D. 150°.

15.Пусть один угол равен $x$, тогда другой угол равен $x + 90^\circ$. Так как они смежные, их сумма равна $180^\circ$. $x + (x + 90^\circ) = 180^\circ$ $2x + 90^\circ = 180^\circ$ $2x = 90^\circ$ $x = 45^\circ$ Второй угол равен $45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$. Углы равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: D. 45°, 135°.

16.Пусть меньший угол равен $x$. Тогда больший угол в три раза больше и равен $3x$. Так как углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. $x + 3x = 180^\circ$ $4x = 180^\circ$ $x = \frac{180^\circ}{4} = 45^\circ$ Второй угол равен $3 \cdot 45^\circ = 135^\circ$. Углы равны $45^\circ$ и $135^\circ$.

Ответ: A. 45°, 135°.

17.Пусть один угол равен $x$, тогда другой составляет 20% от него, то есть $0.2x$. Так как углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. $x + 0.2x = 180^\circ$ $1.2x = 180^\circ$ $x = \frac{180^\circ}{1.2} = \frac{1800^\circ}{12} = 150^\circ$ Второй угол равен $0.2 \cdot 150^\circ = 30^\circ$. Углы равны $30^\circ$ и $150^\circ$.

Ответ: D. 30°, 150°.

18.Вертикальные углы, образованные при пересечении двух прямых, равны. Пусть два вертикальных угла равны $\alpha$. По условию, их сумма равна $150^\circ$. $\alpha + \alpha = 150^\circ$ $2\alpha = 150^\circ$ $\alpha = 75^\circ$ При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Вторая пара углов, обозначим их $\beta$, является смежной с углами $\alpha$. $\beta = 180^\circ - \alpha = 180^\circ - 75^\circ = 105^\circ$. Таким образом, четыре угла, образованные этими прямыми, равны $75^\circ, 105^\circ, 75^\circ, 105^\circ$.

Ответ: C. 75°, 105°, 75°, 105°.

19.Минутная стрелка совершает полный оборот ($360^\circ$) за 60 минут. Скорость ее движения составляет $\frac{360^\circ}{60 \text{ мин}} = 6^\circ$ в минуту. За 20 минут минутная стрелка повернется на угол: $20 \text{ мин} \cdot 6^\circ/\text{мин} = 120^\circ$.

Ответ: D. 120°.

20.Время 13 ч 30 мин — это то же самое, что 1 ч 30 мин. 1. Положение минутной стрелки. За 30 минут она пройдет половину циферблата. Полный круг — $360^\circ$, значит, ее положение — $180^\circ$ от 12-часовой отметки. 2. Положение часовой стрелки. За 12 часов она проходит $360^\circ$, то есть $30^\circ$ в час или $0.5^\circ$ в минуту. В 1:30 часовая стрелка прошла 1 час и 30 минут от 12-часовой отметки. Ее угол: $1 \cdot 30^\circ + 30 \cdot 0.5^\circ = 30^\circ + 15^\circ = 45^\circ$. 3. Угол между стрелками — это разница их положений: $|180^\circ - 45^\circ| = 135^\circ$.

Ответ: C. 135°.