Номер §37, страница 342 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §37, страница 342.

Условие.

K § 37 «Сочетания»

* Напишите программу, которая по заданным натуральным $n$ и $k$ выдаёт значения $P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$. Какие проверки и ограничения надо учесть? Воспользуйтесь результатами, полученными при написании программы вычисления факториала.

! * Как сформировать весь набор сочетаний по $k$ элементов для заданного множества из $n$ элементов?

Решение.

* Напишите программу, которая по заданным натуральным n и k выдаёт значения P_n, A_n^k, C_n^k. Какие проверки и ограничения надо учесть? Воспользуйтесь результатами, полученными при написании программы вычисления факториала.

Для написания такой программы сначала определим математические формулы для перестановок ($P_n$), размещений ($A_n^k$) и сочетаний ($C_n^k$).

• Число перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$
• Число размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
• Число сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$

Все эти формулы используют факториал. Поэтому, как указано в задании, в основе программы будет лежать функция для вычисления факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Создадим ее в первую очередь.

Функция вычисления факториала

Можно реализовать функцию итеративно, чтобы избежать переполнения стека при рекурсии для больших чисел.

def factorial(num): if num == 0: return 1 result = 1 for i in range(1, num + 1): result *= i return result 

Основная программа и вычисления

Теперь напишем основную программу, которая принимает $n$ и $k$, выполняет проверки и вычисляет значения. Для вычисления $A_n^k$ и $C_n^k$ можно использовать более оптимальные способы, чем прямое вычисление трех факториалов, чтобы избежать работы с очень большими промежуточными числами.

• $A_n^k$ можно вычислить как произведение $k$ чисел от $n$ до $n-k+1$.
• $C_n^k$ можно вычислить, разделив $A_n^k$ на $k!$.

Пример программы на Python

# Функция вычисления факториалаdef factorial(num): if not isinstance(num, int) or num < 0: raise ValueError("Аргумент должен быть неотрицательным целым числом") if num == 0: return 1 res = 1 for i in range(1, num + 1): res *= i return res# Основная функция для вычисленийdef calculate_combinatorics(n, k): print(f"Вычисления для n={n}, k={k}:") # --- Проверки и ограничения --- if not (isinstance(n, int) and isinstance(k, int) and n >= 0 and k >= 0): print("Ошибка: n и k должны быть натуральными числами (или 0).") return if k > n: print("Ошибка: k не может быть больше n.") # Для полноты можно вывести, что A_n^k = 0 и C_n^k = 0 в этом случае print(f"P_{n} = {factorial(n)}") print(f"A_{n}^{k} = 0") print(f"C_{n}^{k} = 0") return # --- Вычисления --- try: # P_n = n! p_n = factorial(n) # A_n^k = n * (n-1) * ... * (n-k+1) a_n_k = 1 for i in range(k): a_n_k *= (n - i) # C_n^k = A_n^k / k! c_n_k = a_n_k // factorial(k) print(f"Число перестановок P_{n} = {p_n}") print(f"Число размещений A_{n}^{k} = {a_n_k}") print(f"Число сочетаний C_{n}^{k} = {c_n_k}") except (ValueError, OverflowError) as e: print(f"Произошла ошибка при вычислениях: {e}") print("Значение n может быть слишком велико для стандартных типов данных.")# Пример использованияcalculate_combinatorics(5, 3)calculate_combinatorics(10, 2) 

Проверки и ограничения, которые надо учесть

1. Корректность ввода: Числа $n$ и $k$ должны быть натуральными, то есть целыми и неотрицательными. Программа должна проверять тип данных и их знак.
2. Соотношение $k$ и $n$: Для размещений и сочетаний количество выбираемых элементов $k$ не может превышать общее количество элементов $n$. Таким образом, должно выполняться условие $k \leq n$. Если $k > n$, то число размещений и сочетаний равно 0.
3. Переполнение (Overflow): Факториалы растут чрезвычайно быстро. Например, $21!$ уже не помещается в стандартный 64-битный целый тип данных (long long в C++). Программа должна учитывать это ограничение. В Python целые числа имеют произвольную точность, поэтому проблема переполнения менее остра, но вычисления для очень больших $n$ (например, $n > 1000$) могут стать очень медленными и требовать много памяти. Важно сообщить пользователю о возможном переполнении для языков программирования со статическими типами данных.
4. Оптимизация вычислений: Как показано в коде, прямой расчет $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ может привести к ненужным вычислениям очень больших чисел. Гораздо эффективнее вычислять $A_n^k$ и затем делить на $k!$, или использовать формулу $C_n^k = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-i+1}{i}$, чтобы промежуточные результаты оставались как можно меньше.

Ответ: Для решения задачи необходимо создать программу, которая принимает на вход натуральные числа $n$ и $k$. В основе программы должна лежать функция вычисления факториала. Программа вычисляет $P_n = n!$, $A_n^k = n! / (n-k)!$ и $C_n^k = n! / (k!(n-k)!)$, используя оптимизированные методы для предотвращения работы с чрезмерно большими числами. Обязательно нужно учесть следующие проверки и ограничения: $n$ и $k$ должны быть целыми и неотрицательными, должно соблюдаться условие $k \leq n$, а также необходимо помнить о риске переполнения стандартных типов данных из-за быстрого роста значений факториалов.

---

!* Как сформировать весь набор сочетаний по k элементов для заданного множества из n элементов?

Для формирования всех сочетаний из $k$ элементов для заданного множества из $n$ элементов (например, для множества $\{1, 2, ..., n\}$) наиболее наглядным и распространенным является рекурсивный алгоритм, основанный на методе поиска с возвратом (backtracking).

Суть алгоритма заключается в последовательном построении сочетания. Мы "принимаем решение" для каждого элемента: либо мы включаем его в текущее сочетание, либо нет. Чтобы избежать дубликатов (например, $\{1, 2\}$ и $\{2, 1\}$) и повторений элементов, мы перебираем элементы в строгом порядке.

Алгоритм (рекурсивный)

Создадим рекурсивную функцию, которая будет принимать следующие параметры:

• source_set: исходное множество или список элементов.
• k: размер каждого сочетания.
• start_index: индекс в source_set, с которого мы начинаем поиск элементов для добавления в сочетание. Это нужно, чтобы не рассматривать уже пройденные элементы и обеспечить уникальность сочетаний.
• current_combination: список, в котором хранится текущее, формируемое на данном шаге рекурсии сочетание.

Шаги алгоритма:

1. Базовый случай (условие выхода из рекурсии): Если размер current_combination стал равен $k$, это означает, что мы успешно сформировали одно сочетание. Мы сохраняем его копию в результирующий список и завершаем текущую ветвь рекурсии (возвращаемся на шаг назад).
2. Рекурсивный шаг: Мы запускаем цикл от start_index до конца source_set. В цикле:
   1. Берем элемент с индексом i из source_set.
   2. Добавляем этот элемент в current_combination.
   3. Вызываем рекурсивную функцию для следующего шага, передав в нее обновленный start_index = i + 1. Это ключевой момент: следующий элемент мы будем искать только среди тех, что идут *после* текущего, что гарантирует уникальность сочетаний.
   4. После возврата из рекурсивного вызова мы удаляем последний добавленный элемент из current_combination (этот шаг называется "возврат" или "backtrack"). Это позволяет нам на том же уровне рекурсии исследовать другие ветви — например, после построения всех сочетаний, начинающихся с $\{1, 2\}$, мы убираем 2 и пробуем добавить 3, чтобы строить сочетания, начинающиеся с $\{1, 3\}$.

Пример реализации на Python

def generate_combinations(source_list, k): results = [] # Список для хранения всех найденных сочетаний def backtrack(start_index, current_combination): # 1. Базовый случай: сочетание нужной длины найдено if len(current_combination) == k: results.append(current_combination[:]) # Добавляем копию return # Если оставшихся элементов не хватает, чтобы дополнить сочетание до k, # можно прервать ветку для оптимизации. if len(current_combination) + len(source_list) - start_index < k: return # 2. Рекурсивный шаг for i in range(start_index, len(source_list)): # a. Добавляем элемент current_combination.append(source_list[i]) # b. Рекурсивный вызов для следующего элемента backtrack(i + 1, current_combination) # c. "Возврат" - убираем элемент, чтобы попробовать другие варианты current_combination.pop() backtrack(0, []) return results# Пример использования:my_set = [1, 2, 3, 4, 5]n = len(my_set)k = 3all_combinations = generate_combinations(my_set, k)print(f"Все сочетания из {n} по {k} для множества {my_set}:")print(all_combinations)# Ожидаемый результат:# [[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], # [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]] 

Существуют и итеративные подходы, например, генерация сочетаний в лексикографическом порядке, но рекурсивный метод с возвратом является одним из самых интуитивно понятных.

Ответ: Для формирования полного набора сочетаний по $k$ элементов из множества в $n$ элементов используется рекурсивный алгоритм с возвратом (backtracking). Алгоритм последовательно строит сочетания, на каждом шаге добавляя в текущий набор один из оставшихся элементов исходного множества. Чтобы избежать повторений и дубликатов, поиск следующего элемента для добавления всегда начинается с позиции, следующей за позицией последнего добавленного элемента.