Номер §37, страница 342 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Дружим с компьютером - номер §37, страница 342.
№§37 (с. 342)
Условие. №§37 (с. 342)
скриншот условия
 
                                                                                                                                        K § 37 «Сочетания»
* Напишите программу, которая по заданным натуральным $n$ и $k$ выдаёт значения $P_n$, $A_n^k$, $C_n^k$. Какие проверки и ограничения надо учесть? Воспользуйтесь результатами, полученными при написании программы вычисления факториала.
! * Как сформировать весь набор сочетаний по $k$ элементов для заданного множества из $n$ элементов?
Решение. №§37 (с. 342)
* Напишите программу, которая по заданным натуральным n и k выдаёт значения Pn, Ank, Cnk. Какие проверки и ограничения надо учесть? Воспользуйтесь результатами, полученными при написании программы вычисления факториала.
Для написания такой программы сначала определим математические формулы для перестановок ($P_n$), размещений ($A_n^k$) и сочетаний ($C_n^k$).
- Число перестановок из $n$ элементов: $P_n = n!$
- Число размещений из $n$ элементов по $k$: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!} = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot (n-k+1)$
- Число сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{A_n^k}{k!}$
Все эти формулы используют факториал. Поэтому, как указано в задании, в основе программы будет лежать функция для вычисления факториала $n! = 1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n$. Создадим ее в первую очередь.
Функция вычисления факториала
Можно реализовать функцию итеративно, чтобы избежать переполнения стека при рекурсии для больших чисел.
def factorial(num): if num == 0: return 1 result = 1 for i in range(1, num + 1): result *= i return result Основная программа и вычисления
Теперь напишем основную программу, которая принимает $n$ и $k$, выполняет проверки и вычисляет значения. Для вычисления $A_n^k$ и $C_n^k$ можно использовать более оптимальные способы, чем прямое вычисление трех факториалов, чтобы избежать работы с очень большими промежуточными числами.
- $A_n^k$ можно вычислить как произведение $k$ чисел от $n$ до $n-k+1$.
- $C_n^k$ можно вычислить, разделив $A_n^k$ на $k!$.
Пример программы на Python
# Функция вычисления факториалаdef factorial(num): if not isinstance(num, int) or num < 0: raise ValueError("Аргумент должен быть неотрицательным целым числом") if num == 0: return 1 res = 1 for i in range(1, num + 1): res *= i return res# Основная функция для вычисленийdef calculate_combinatorics(n, k): print(f"Вычисления для n={n}, k={k}:") # --- Проверки и ограничения --- if not (isinstance(n, int) and isinstance(k, int) and n >= 0 and k >= 0): print("Ошибка: n и k должны быть натуральными числами (или 0).") return if k > n: print("Ошибка: k не может быть больше n.") # Для полноты можно вывести, что A_n^k = 0 и C_n^k = 0 в этом случае print(f"P_{n} = {factorial(n)}") print(f"A_{n}^{k} = 0") print(f"C_{n}^{k} = 0") return # --- Вычисления --- try: # P_n = n! p_n = factorial(n) # A_n^k = n * (n-1) * ... * (n-k+1) a_n_k = 1 for i in range(k): a_n_k *= (n - i) # C_n^k = A_n^k / k! c_n_k = a_n_k // factorial(k) print(f"Число перестановок P_{n} = {p_n}") print(f"Число размещений A_{n}^{k} = {a_n_k}") print(f"Число сочетаний C_{n}^{k} = {c_n_k}") except (ValueError, OverflowError) as e: print(f"Произошла ошибка при вычислениях: {e}") print("Значение n может быть слишком велико для стандартных типов данных.")# Пример использованияcalculate_combinatorics(5, 3)calculate_combinatorics(10, 2) Проверки и ограничения, которые надо учесть
- Корректность ввода: Числа $n$ и $k$ должны быть натуральными, то есть целыми и неотрицательными. Программа должна проверять тип данных и их знак.
- Соотношение $k$ и $n$: Для размещений и сочетаний количество выбираемых элементов $k$ не может превышать общее количество элементов $n$. Таким образом, должно выполняться условие $k \leq n$. Если $k > n$, то число размещений и сочетаний равно 0.
- Переполнение (Overflow): Факториалы растут чрезвычайно быстро. Например, $21!$ уже не помещается в стандартный 64-битный целый тип данных (long long в C++). Программа должна учитывать это ограничение. В Python целые числа имеют произвольную точность, поэтому проблема переполнения менее остра, но вычисления для очень больших $n$ (например, $n > 1000$) могут стать очень медленными и требовать много памяти. Важно сообщить пользователю о возможном переполнении для языков программирования со статическими типами данных.
- Оптимизация вычислений: Как показано в коде, прямой расчет $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ может привести к ненужным вычислениям очень больших чисел. Гораздо эффективнее вычислять $A_n^k$ и затем делить на $k!$, или использовать формулу $C_n^k = \prod_{i=1}^{k} \frac{n-i+1}{i}$, чтобы промежуточные результаты оставались как можно меньше.
Ответ: Для решения задачи необходимо создать программу, которая принимает на вход натуральные числа $n$ и $k$. В основе программы должна лежать функция вычисления факториала. Программа вычисляет $P_n = n!$, $A_n^k = n! / (n-k)!$ и $C_n^k = n! / (k!(n-k)!)$, используя оптимизированные методы для предотвращения работы с чрезмерно большими числами. Обязательно нужно учесть следующие проверки и ограничения: $n$ и $k$ должны быть целыми и неотрицательными, должно соблюдаться условие $k \leq n$, а также необходимо помнить о риске переполнения стандартных типов данных из-за быстрого роста значений факториалов.
!* Как сформировать весь набор сочетаний по k элементов для заданного множества из n элементов?
Для формирования всех сочетаний из $k$ элементов для заданного множества из $n$ элементов (например, для множества $\{1, 2, ..., n\}$) наиболее наглядным и распространенным является рекурсивный алгоритм, основанный на методе поиска с возвратом (backtracking).
Суть алгоритма заключается в последовательном построении сочетания. Мы "принимаем решение" для каждого элемента: либо мы включаем его в текущее сочетание, либо нет. Чтобы избежать дубликатов (например, $\{1, 2\}$ и $\{2, 1\}$) и повторений элементов, мы перебираем элементы в строгом порядке.
Алгоритм (рекурсивный)
Создадим рекурсивную функцию, которая будет принимать следующие параметры:
- source_set: исходное множество или список элементов.
- k: размер каждого сочетания.
- start_index: индекс в- source_set, с которого мы начинаем поиск элементов для добавления в сочетание. Это нужно, чтобы не рассматривать уже пройденные элементы и обеспечить уникальность сочетаний.
- current_combination: список, в котором хранится текущее, формируемое на данном шаге рекурсии сочетание.
Шаги алгоритма:
- Базовый случай (условие выхода из рекурсии): Если размер current_combinationстал равен $k$, это означает, что мы успешно сформировали одно сочетание. Мы сохраняем его копию в результирующий список и завершаем текущую ветвь рекурсии (возвращаемся на шаг назад).
- Рекурсивный шаг: Мы запускаем цикл от start_indexдо концаsource_set. В цикле:- Берем элемент с индексом iизsource_set.
- Добавляем этот элемент в current_combination.
- Вызываем рекурсивную функцию для следующего шага, передав в нее обновленный start_index = i + 1. Это ключевой момент: следующий элемент мы будем искать только среди тех, что идут *после* текущего, что гарантирует уникальность сочетаний.
- После возврата из рекурсивного вызова мы удаляем последний добавленный элемент из current_combination(этот шаг называется "возврат" или "backtrack"). Это позволяет нам на том же уровне рекурсии исследовать другие ветви — например, после построения всех сочетаний, начинающихся с $\{1, 2\}$, мы убираем 2 и пробуем добавить 3, чтобы строить сочетания, начинающиеся с $\{1, 3\}$.
 
- Берем элемент с индексом 
Пример реализации на Python
def generate_combinations(source_list, k): results = [] # Список для хранения всех найденных сочетаний def backtrack(start_index, current_combination): # 1. Базовый случай: сочетание нужной длины найдено if len(current_combination) == k: results.append(current_combination[:]) # Добавляем копию return # Если оставшихся элементов не хватает, чтобы дополнить сочетание до k, # можно прервать ветку для оптимизации. if len(current_combination) + len(source_list) - start_index < k: return # 2. Рекурсивный шаг for i in range(start_index, len(source_list)): # a. Добавляем элемент current_combination.append(source_list[i]) # b. Рекурсивный вызов для следующего элемента backtrack(i + 1, current_combination) # c. "Возврат" - убираем элемент, чтобы попробовать другие варианты current_combination.pop() backtrack(0, []) return results# Пример использования:my_set = [1, 2, 3, 4, 5]n = len(my_set)k = 3all_combinations = generate_combinations(my_set, k)print(f"Все сочетания из {n} по {k} для множества {my_set}:")print(all_combinations)# Ожидаемый результат:# [[1, 2, 3], [1, 2, 4], [1, 2, 5], [1, 3, 4], [1, 3, 5], [1, 4, 5], # [2, 3, 4], [2, 3, 5], [2, 4, 5], [3, 4, 5]] Существуют и итеративные подходы, например, генерация сочетаний в лексикографическом порядке, но рекурсивный метод с возвратом является одним из самых интуитивно понятных.
Ответ: Для формирования полного набора сочетаний по $k$ элементов из множества в $n$ элементов используется рекурсивный алгоритм с возвратом (backtracking). Алгоритм последовательно строит сочетания, на каждом шаге добавляя в текущий набор один из оставшихся элементов исходного множества. Чтобы избежать повторений и дубликатов, поиск следующего элемента для добавления всегда начинается с позиции, следующей за позицией последнего добавленного элемента.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер §37 расположенного на странице 342 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №§37 (с. 342), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    