Номер §31, страница 342 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §31, страница 342.

Условие.

К § 31 «Деление многочленов»

Запишите алгоритм для деления двух многочленов. Используйте способ представления многочленов и алгоритмы, созданные вами в курсе алгебры 7 класса при изучении темы «Сложение и вычитание многочленов».

Решение.

Для деления многочлена $P(x)$ (делимое) на многочлен $D(x)$ (делитель) используется алгоритм, аналогичный делению чисел "уголком". Цель — найти такие многочлены $Q(x)$ (частное) и $R(x)$ (остаток), что выполняется равенство $P(x) = D(x) \cdot Q(x) + R(x)$, причём степень остатка $R(x)$ строго меньше степени делителя $D(x)$.

В основе этого алгоритма лежат операции, изученные в 7 классе: приведение многочленов к стандартному виду (расположение членов по убыванию степеней переменной) и вычитание многочленов (раскрытие скобок с изменением знака и приведение подобных слагаемых).

Вот пошаговый алгоритм:

1. Подготовка.

   Расположите члены делимого $P(x)$ и делителя $D(x)$ по убыванию степеней переменной (стандартный вид). Если в делимом отсутствуют какие-либо степени переменной, впишите их с коэффициентом 0 для удобства выравнивания при вычитании. Если степень делимого меньше степени делителя, то частное равно 0, а остаток равен делимому. На этом деление заканчивается.

2. Нахождение первого члена частного.

   Разделите старший член (член с наибольшей степенью) делимого на старший член делителя. Полученный одночлен является первым членом частного $Q(x)$.

3. Умножение.

   Умножьте весь многочлен-делитель $D(x)$ на член частного, полученный в предыдущем шаге.

4. Вычитание.

   Вычтите из делимого многочлен, полученный в шаге 3. Для этого, согласно правилам вычитания многочленов, измените знаки всех членов вычитаемого на противоположные и приведите подобные слагаемые. Результат этого вычитания — первый промежуточный остаток.

5. Повторение цикла.

   Полученный остаток рассматривайте как новое делимое. Повторяйте шаги 2–4 до тех пор, пока степень нового остатка не станет меньше степени делителя $D(x)$ или пока остаток не станет равен нулю.

   На каждом шаге цикла:

   • делите старший член нового остатка (нового делимого) на старший член делителя $D(x)$;
   • полученный результат добавляйте к частному $Q(x)$;
   • умножайте делитель $D(x)$ на этот новый член частного;
   • вычитайте результат из текущего остатка.
6. Завершение.

   Когда степень очередного остатка станет меньше степени делителя, процесс деления завершается. Этот последний остаток и есть итоговый остаток $R(x)$. Многочлен $Q(x)$, составленный из всех найденных на шагах 2 и 5 членов, является частным.

Пример: Разделим многочлен $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 7$ на $D(x) = x - 2$.

1. Делим старший член $2x^3$ на старший член $x$. Получаем $2x^2$. Это первый член частного.

2. Умножаем $2x^2$ на $(x-2)$: $2x^2(x-2) = 2x^3 - 4x^2$.

3. Вычитаем из делимого: $(2x^3 - 5x^2 + 5x - 7) - (2x^3 - 4x^2) = -x^2 + 5x - 7$. Это первый остаток.

4. Повторяем цикл с новым делимым $-x^2 + 5x - 7$. Делим его старший член $-x^2$ на $x$. Получаем $-x$. Это второй член частного.

5. Умножаем $-x$ на $(x-2)$: $-x(x-2) = -x^2 + 2x$.

6. Вычитаем из текущего остатка: $(-x^2 + 5x - 7) - (-x^2 + 2x) = 3x - 7$. Это второй остаток.

7. Повторяем цикл с новым делимым $3x - 7$. Делим $3x$ на $x$. Получаем $3$. Это третий член частного.

8. Умножаем $3$ на $(x-2)$: $3(x-2) = 3x - 6$.

9. Вычитаем из текущего остатка: $(3x - 7) - (3x - 6) = -1$.

Степень остатка $-1$ равна 0, что меньше степени делителя $(x-2)$, равной 1. Деление завершено.

Частное: $Q(x) = 2x^2 - x + 3$.

Остаток: $R(x) = -1$.

Проверка: $(x-2)(2x^2 - x + 3) + (-1) = (2x^3 - x^2 + 3x - 4x^2 + 2x - 6) - 1 = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 7$. Результат верный.

Ответ: Вышеописанный алгоритм деления многочленов, основанный на операциях приведения к стандартному виду и вычитания многочленов, позволяет найти частное и остаток от деления одного многочлена на другой.