Номер §24, страница 340 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §24, страница 340.

Условие.

К § 24 «Решение уравнений методом замены переменной»

Запишите алгоритм для решения биквадратных уравнений. Можно использовать в качестве подпрограммы алгоритм, составленный вами для решения квадратного уравнения (см. задание к § 20).

Запишите алгоритм, который определяет, является ли уравнение биквадратным, возвратным уравнением четвёртой степени, обобщённым возвратным уравнением четвёртой степени, однородным уравнением второй степени, и в зависимости от этого выдаёт рекомендацию о способе его решения.

Решение.

Запишите алгоритм для решения биквадратных уравнений. Можно использовать в качестве подпрограммы алгоритм, составленный вами для решения квадратного уравнения (см. задание к § 20).

Биквадратным уравнением называется уравнение вида $ax^4 + bx^2 + c = 0$, где $a \neq 0$. Для его решения используется метод замены переменной.

Алгоритм решения:

1. Привести уравнение к стандартному виду $ax^4 + bx^2 + c = 0$ и определить его коэффициенты $a$, $b$ и $c$.

2. Ввести новую переменную, например $t$, положив $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, должно выполняться условие $t \ge 0$.

3. Подставить новую переменную в исходное уравнение. Так как $x^4 = (x^2)^2 = t^2$, уравнение примет вид квадратного уравнения относительно переменной $t$: $at^2 + bt + c = 0$.

4. Решить полученное квадратное уравнение $at^2 + bt + c = 0$ с помощью стандартного алгоритма (подпрограммы) решения квадратных уравнений. Найти его корни $t_1$ и $t_2$.

5. Проанализировать найденные корни $t_1$ и $t_2$. Отбросить все отрицательные корни, так как они не удовлетворяют условию $t \ge 0$.

6. Для каждого неотрицательного корня $t_i$ выполнить обратную замену, то есть решить уравнение $x^2 = t_i$.

   • Если $t_i > 0$, то корнями будут $x = \sqrt{t_i}$ и $x = -\sqrt{t_i}$.

   • Если $t_i = 0$, то корень один: $x = 0$.

7. Записать все найденные значения $x$ в качестве решения исходного биквадратного уравнения.

Ответ: Вышеописанный алгоритм, состоящий из 7 шагов, является алгоритмом решения биквадратных уравнений.

Запишите алгоритм, который определяет, является ли уравнение биквадратным, возвратным уравнением четвёртой степени, обобщённым возвратным уравнением четвёртой степени, однородным уравнением второй степени, и в зависимости от этого выдаёт рекомендацию о способе его решения.

Данный алгоритм представляет собой последовательность проверок, позволяющих классифицировать уравнение и предложить метод его решения.

Алгоритм классификации и выдачи рекомендаций:

1. Проверка на однородность. Проанализировать, можно ли представить уравнение в виде $A \cdot (f(x))^2 + B \cdot f(x)g(x) + C \cdot (g(x))^2 = 0$, где $A, B, C$ – константы, а $f(x)$ и $g(x)$ – некоторые функции от $x$.

   • Если да: Уравнение является однородным уравнением второй степени.
     Рекомендация: Разделите обе части уравнения на $(g(x))^2$ (предварительно рассмотрев случай, когда $g(x) = 0$). Введите замену $t = \frac{f(x)}{g(x)}$ и решите полученное квадратное уравнение $At^2 + Bt + C = 0$. Затем для каждого найденного корня $t_i$ решите уравнение $\frac{f(x)}{g(x)} = t_i$.

   • Если нет: Перейти к следующему шагу.

2. Приведение к полиномиальному виду. Если уравнение не является однородным, попытаться привести его к стандартному виду полинома четвёртой степени $Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E = 0$, где $A \neq 0$. Если это невозможно, алгоритм завершается. Если возможно, перейти к следующему шагу.

3. Проверка на биквадратность. Проверить равенство нулю коэффициентов при нечётных степенях: $B=0$ и $D=0$.

   • Если да: Уравнение является биквадратным ($Ax^4 + Cx^2 + E = 0$).
     Рекомендация: Введите замену $t = x^2$ ($t \ge 0$). Решите полученное квадратное уравнение $At^2 + Ct + E = 0$. Для каждого неотрицательного корня $t_i$ найдите $x$ из уравнения $x^2 = t_i$.

   • Если нет: Перейти к следующему шагу.

4. Проверка на возвратность. Проверить симметричность коэффициентов: $A=E$ и $B=D$.

   • Если да: Уравнение является возвратным уравнением четвёртой степени.
     Рекомендация: Так как $x=0$ не является корнем (поскольку $A \neq 0$), разделите уравнение на $x^2$. Сгруппируйте слагаемые: $A(x^2 + \frac{1}{x^2}) + B(x + \frac{1}{x}) + C = 0$. Введите замену $t = x + \frac{1}{x}$, тогда $x^2 + \frac{1}{x^2} = t^2 - 2$. Решите полученное квадратное уравнение $A(t^2 - 2) + Bt + C = 0$. Для каждого найденного корня $t_i$ решите уравнение $x + \frac{1}{x} = t_i$.

   • Если нет: Перейти к следующему шагу.

5. Проверка на обобщённую возвратность. Проверить, существует ли такое число $k \neq 0$, что $E = k^2 A$ и $D = kB$. Это эквивалентно проверке условия $A \cdot D^2 = E \cdot B^2$ (при $B \neq 0$).

   • Если да: Уравнение является обобщённым возвратным уравнением четвёртой степени.
     Рекомендация: Разделите уравнение на $x^2$. Сгруппируйте слагаемые: $A(x^2 + \frac{E/A}{x^2}) + B(x + \frac{D/B}{x}) + C = 0$. Введите замену $t = x + \frac{D}{B}$. Учитывая, что $x^2 + \frac{E}{A}\frac{1}{x^2} = t^2 - 2\frac{D}{B}$, сведите уравнение к квадратному относительно $t$. Решите его и выполните обратную замену для каждого найденного корня.

   • Если нет: Перейти к следующему шагу.

6. Вывод по умолчанию. Если ни одна из проверок не дала положительного результата, выдать сообщение:

   • Рекомендация: Уравнение не относится к перечисленным специальным типам. Для его решения могут потребоваться другие методы, такие как поиск рациональных корней по теореме о рациональных корнях многочлена или общие формулы решения уравнений четвёртой степени (формулы Феррари).

Ответ: Представленный выше алгоритм из 7 шагов позволяет классифицировать уравнение и дать рекомендацию по способу его решения.