Номер §20, страница 339 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §20, страница 339.

Условие.

K § 20 «Формула корней квадратного уравнения»

Запишите алгоритм, который по коэффициентам $a$, $b$ и $c$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находит его корни. Учтите все возможные случаи (включая неполное квадратное уравнение).

20.18, 20.19. Запишите алгоритмы для решения этих задач методом перебора. Какая информация в условиях этих задач позволяет сделать вывод, что можно применить метод перебора, в отличие от задач 20.22 и 20.23?

Решение.

Алгоритм, который по коэффициентам $a$, $b$ и $c$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ находит его корни, учитывая все возможные случаи:

1. Проверка коэффициента $a$.
   • Если $a \neq 0$, уравнение является квадратным. Необходимо перейти к шагу 2.
   • Если $a = 0$, уравнение вырождается в линейное: $bx + c = 0$. В этом случае:
     • Если $b \neq 0$, то уравнение имеет единственный корень: $x = -c/b$.
     • Если $b = 0$ и $c = 0$, то равенство $0=0$ верно при любом значении $x$. Уравнение имеет бесконечно много корней.
     • Если $b = 0$ и $c \neq 0$, то равенство $c=0$ ложно. Уравнение не имеет корней.
     В этих случаях алгоритм завершает свою работу.
2. Вычисление дискриминанта.

   Для квадратного уравнения (когда $a \neq 0$) необходимо рассчитать дискриминант $D$ по формуле:

   $D = b^2 - 4ac$

3. Анализ дискриминанта и нахождение корней.
   • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня, которые находятся по формулам:
     $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$
     $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$
   • Если $D = 0$, уравнение имеет один действительный корень (или два совпадающих):
     $x = -\frac{b}{2a}$
   • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Данный алгоритм охватывает и все случаи неполных квадратных уравнений.

Ответ: Алгоритм состоит из следующих шагов: 1. Проверить, равен ли коэффициент $a$ нулю. Если да, решить линейное уравнение $bx+c=0$. 2. Если $a \neq 0$, вычислить дискриминант $D = b^2 - 4ac$. 3. Проанализировать знак дискриминанта: при $D < 0$ действительных корней нет; при $D = 0$ корень один: $x = -b/(2a)$; при $D > 0$ корня два: $x_{1,2} = (-b \pm \sqrt{D})/(2a)$.

---

20.18, 20.19.

Поскольку условия задач 20.18, 20.19, 20.22 и 20.23 не предоставлены, ответ основывается на предположении о типичном содержании таких задач в учебнике.

Алгоритмы для решения задач 20.18 и 20.19 методом перебора

Метод перебора (или полного перебора) эффективен, когда множество возможных решений конечно и достаточно мало для проверки всех вариантов. Вероятно, в задачах 20.18 и 20.19 требуется найти целочисленные или натуральные решения.

Общий алгоритм:

1. Определить из условия задачи множество и диапазон поиска для переменной (например, натуральные числа от 1 до 50).
2. Создать цикл, в котором переменная будет последовательно принимать все значения из заданного множества.
3. Внутри цикла подставить текущее значение переменной в уравнение (или условие) из задачи.
4. Проверить, выполняется ли равенство (или условие).
5. Если условие выполнено, то текущее значение переменной является решением. Его нужно зафиксировать (например, добавить в список).
6. После окончания цикла вывести все найденные решения.

Какая информация в условиях этих задач позволяет сделать вывод, что можно применить метод перебора, в отличие от задач 20.22 и 20.23?

Возможность применить метод перебора в задачах 20.18 и 20.19, скорее всего, обусловлена наличием в их условии ограничения на тип и/или диапазон искомых решений. Например, в условии может быть прямо указано: "найдите все натуральные корни уравнения" или "найдите все целые решения на отрезке $[-10; 10]$". Такое ограничение делает множество потенциальных решений счетным и конечным, что и позволяет "перебрать" все варианты.

В задачах 20.22 и 20.23, по-видимому, таких ограничений нет, и требуется найти решения на множестве действительных чисел ($\mathbb{R}$). Это множество является непрерывным и несчетным. Между любыми двумя числами на числовой оси существует бесконечно много других чисел, поэтому перебрать их все физически невозможно. Для решения таких задач необходимы аналитические методы, такие как использование формулы корней квадратного уравнения, которые дают точный ответ для всего множества действительных чисел.

Ответ: Алгоритм решения методом перебора заключается в последовательной проверке всех кандидатов из заранее определенного конечного множества. Информация в условиях задач 20.18 и 20.19, которая позволяет применить этот метод, — это, предположительно, требование найти решения среди целых или натуральных чисел, возможно, в заданном диапазоне. Это делает множество возможных решений конечным. В задачах 20.22 и 20.23, скорее всего, ищутся действительные корни, множество которых бесконечно и непрерывно, что делает перебор невозможным и требует аналитического решения.