Номер §28, страница 341 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §28, страница 341.

Условие.

K § 28 «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа»

Запишите алгоритм для определения того, является ли одно натуральное число делителем другого.

Запишите алгоритмы для определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел. Рассмотрите два варианта: с использованием только определения и с использованием теорем этого параграфа.

Запишите алгоритм, определяющий, являются ли два числа взаимно простыми.

* 28.16. Напишите программу для решения этой задачи.

Решение.

Запишите алгоритм для определения того, является ли одно натуральное число делителем другого.

Пусть даны два натуральных числа: $a$ (потенциальный делитель) и $b$ (делимое).

1. Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
2. Вычислить остаток от деления числа $b$ на число $a$. В математике это записывается как $b \pmod a$.
3. Если остаток от деления равен 0, то число $a$ является делителем числа $b$.
4. Если остаток от деления не равен 0, то число $a$ не является делителем числа $b$.

Ответ: Алгоритм заключается в проверке остатка от деления одного числа на другое. Если остаток равен нулю, то первое число является делителем второго.

Запишите алгоритмы для определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел. Рассмотрите два варианта: с использованием только определения и с использованием теорем этого параграфа.

Наибольший общий делитель (НОД)

Вариант 1: С использованием только определения

Определение: Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наибольшее натуральное число, на которое оба числа $a$ и $b$ делятся без остатка.

Алгоритм (метод перебора):

1. Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
2. Найти меньшее из двух чисел, пусть это будет $m = \min(a, b)$.
3. Начать проверку всех целых чисел $i$ от $m$ вниз до 1.
4. Для каждого числа $i$ проверить, является ли оно делителем одновременно и для $a$, и для $b$ (то есть, $a \pmod i = 0$ и $b \pmod i = 0$).
5. Первое найденное число $i$, удовлетворяющее этому условию, будет наибольшим общим делителем.

Вариант 2: С использованием теорем

Основными методами, основанными на теоремах, являются разложение на простые множители и алгоритм Евклида.

Алгоритм 1 (на основе разложения на простые множители):

1. Разложить оба числа, $a$ и $b$, на простые множители. Например, $a = p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots$ и $b = p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots$.
2. Найти все общие простые множители в разложениях обоих чисел.
3. Для каждого общего простого множителя выбрать его в наименьшей степени, в которой он встречается в разложениях.
4. Перемножить эти множители в выбранных степенях. Полученное произведение и будет НОД.

Алгоритм 2 (Алгоритм Евклида, метод деления):

1. Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
2. Пока $b$ не равно 0, повторять следующие шаги:
   1. Вычислить остаток от деления $a$ на $b$: $r = a \pmod b$.
   2. Присвоить значение $b$ переменной $a$.
   3. Присвоить значение $r$ переменной $b$.
3. Когда $b$ станет равно 0, значение $a$ будет являться НОД.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Вариант 1: С использованием только определения

Определение: Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа $a$ и $b$ без остатка.

Алгоритм (метод перебора):

1. Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
2. Найти большее из двух чисел, пусть это будет $M = \max(a, b)$.
3. Последовательно проверять числа, кратные $M$: $M, 2M, 3M, \ldots$.
4. Первое из этих чисел, которое также будет делиться на второе число (меньшее из $a$ и $b$) без остатка, и является НОК.

Вариант 2: С использованием теорем

Алгоритм 1 (на основе разложения на простые множители):

1. Разложить оба числа, $a$ и $b$, на простые множители.
2. Выписать все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений.
3. Для каждого простого множителя выбрать его в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях.
4. Перемножить эти множители в выбранных степенях. Полученное произведение и будет НОК.

Алгоритм 2 (на основе связи НОД и НОК):

Используется теорема: произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих этих чисел: $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$.

1. Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
2. Найти $НОД(a, b)$, используя эффективный метод (например, алгоритм Евклида).
3. Вычислить НОК по формуле: $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$.

Ответ: Представлены алгоритмы нахождения НОД и НОК, основанные как на прямом следовании определениям (перебор делителей или кратных), так и на более эффективных методах, следующих из теорем (разложение на простые множители, алгоритм Евклида и формула связи НОД и НОК).

Запишите алгоритм, определяющий, являются ли два числа взаимно простыми.

Определение: Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Алгоритм:

1. Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
2. Вычислить наибольший общий делитель этих чисел, $НОД(a, b)$, используя любой известный метод (наиболее эффективен алгоритм Евклида).
3. Сравнить полученный НОД с единицей.
4. Если $НОД(a, b) = 1$, то числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми.
5. Если $НОД(a, b) > 1$, то числа не являются взаимно простыми.

Ответ: Алгоритм сводится к нахождению НОД двух чисел и проверке, равен ли он единице.

* 28.16. Напишите программу для решения этой задачи.

Эта программа на языке Python реализует все описанные выше алгоритмы. Она запрашивает у пользователя два числа, а затем выводит результаты проверки делимости, НОД, НОК и проверку на взаимную простоту.

# -*- coding: utf-8 -*-def check_divisor(a, b): "" Проверяет, является ли число 'a' делителем числа 'b'. "" if a == 0: return False return b % a == 0def gcd(a, b): "" Вычисляет Наибольший Общий Делитель (НОД) по алгоритму Евклида. "" while b: a, b = b, a % b return adef lcm(a, b): "" Вычисляет Наименьшее Общее Кратное (НОК), используя формулу НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b). "" if a == 0 or b == 0: return 0 return abs(a * b) // gcd(a, b)def are_coprime(a, b): "" Проверяет, являются ли два числа взаимно простыми. "" return gcd(a, b) == 1# Основная часть программыif __name__ == "__main__": try: num1 = int(input("Введите первое натуральное число: ")) num2 = int(input("Введите второе натуральное число: ")) if num1 <= 0 or num2 <= 0: print("Ошибка: Введите натуральные числа (больше 0).") else: print("\n--- Результаты ---") # Проверка делимости if check_divisor(num1, num2): print(f"Число {num1} является делителем числа {num2}.") else: print(f"Число {num1} не является делителем числа {num2}.") if check_divisor(num2, num1): print(f"Число {num2} является делителем числа {num1}.") else: print(f"Число {num2} не является делителем числа {num1}.") # НОД common_divisor = gcd(num1, num2) print(f"Наибольший общий делитель (НОД) чисел {num1} и {num2}: {common_divisor}") # НОК common_multiple = lcm(num1, num2) print(f"Наименьшее общее кратное (НОК) чисел {num1} и {num2}: {common_multiple}") # Проверка на взаимную простоту if are_coprime(num1, num2): print(f"Числа {num1} и {num2} являются взаимно простыми.") else: print(f"Числа {num1} и {num2} не являются взаимно простыми.") except ValueError: print("Ошибка: Введите, пожалуйста, целые числа.") 

Ответ: Приведена программа на языке Python, которая реализует функции для определения делимости, нахождения НОД и НОК, а также проверки чисел на взаимную простоту.