Номер §28, страница 341 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков
 
                                                Авторы: Мерзляк А. Г., Поляков В. М.
Тип: Учебник
Серия: алгоритм успеха
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: углублённый
Цвет обложки: розовый
ISBN: 978-5-09-087881-4
Популярные ГДЗ в 8 классе
Дружим с компьютером - номер §28, страница 341.
№§28 (с. 341)
Условие. №§28 (с. 341)
скриншот условия
 
                                K § 28 «Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух натуральных чисел. Взаимно простые числа»
Запишите алгоритм для определения того, является ли одно натуральное число делителем другого.
Запишите алгоритмы для определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел. Рассмотрите два варианта: с использованием только определения и с использованием теорем этого параграфа.
Запишите алгоритм, определяющий, являются ли два числа взаимно простыми.
* 28.16. Напишите программу для решения этой задачи.
Решение. №§28 (с. 341)
Запишите алгоритм для определения того, является ли одно натуральное число делителем другого.
Пусть даны два натуральных числа: $a$ (потенциальный делитель) и $b$ (делимое).
- Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
- Вычислить остаток от деления числа $b$ на число $a$. В математике это записывается как $b \pmod a$.
- Если остаток от деления равен 0, то число $a$ является делителем числа $b$.
- Если остаток от деления не равен 0, то число $a$ не является делителем числа $b$.
Ответ: Алгоритм заключается в проверке остатка от деления одного числа на другое. Если остаток равен нулю, то первое число является делителем второго.
Запишите алгоритмы для определения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел. Рассмотрите два варианта: с использованием только определения и с использованием теорем этого параграфа.
Наибольший общий делитель (НОД)
Вариант 1: С использованием только определения
Определение: Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наибольшее натуральное число, на которое оба числа $a$ и $b$ делятся без остатка.
Алгоритм (метод перебора):
- Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
- Найти меньшее из двух чисел, пусть это будет $m = \min(a, b)$.
- Начать проверку всех целых чисел $i$ от $m$ вниз до 1.
- Для каждого числа $i$ проверить, является ли оно делителем одновременно и для $a$, и для $b$ (то есть, $a \pmod i = 0$ и $b \pmod i = 0$).
- Первое найденное число $i$, удовлетворяющее этому условию, будет наибольшим общим делителем.
Вариант 2: С использованием теорем
Основными методами, основанными на теоремах, являются разложение на простые множители и алгоритм Евклида.
Алгоритм 1 (на основе разложения на простые множители):
- Разложить оба числа, $a$ и $b$, на простые множители. Например, $a = p_1^{x_1} \cdot p_2^{x_2} \cdot \ldots$ и $b = p_1^{y_1} \cdot p_2^{y_2} \cdot \ldots$.
- Найти все общие простые множители в разложениях обоих чисел.
- Для каждого общего простого множителя выбрать его в наименьшей степени, в которой он встречается в разложениях.
- Перемножить эти множители в выбранных степенях. Полученное произведение и будет НОД.
Алгоритм 2 (Алгоритм Евклида, метод деления):
- Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
- Пока $b$ не равно 0, повторять следующие шаги: - Вычислить остаток от деления $a$ на $b$: $r = a \pmod b$.
- Присвоить значение $b$ переменной $a$.
- Присвоить значение $r$ переменной $b$.
 
- Когда $b$ станет равно 0, значение $a$ будет являться НОД.
Наименьшее общее кратное (НОК)
Вариант 1: С использованием только определения
Определение: Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел $a$ и $b$ — это наименьшее натуральное число, которое делится на оба числа $a$ и $b$ без остатка.
Алгоритм (метод перебора):
- Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
- Найти большее из двух чисел, пусть это будет $M = \max(a, b)$.
- Последовательно проверять числа, кратные $M$: $M, 2M, 3M, \ldots$.
- Первое из этих чисел, которое также будет делиться на второе число (меньшее из $a$ и $b$) без остатка, и является НОК.
Вариант 2: С использованием теорем
Алгоритм 1 (на основе разложения на простые множители):
- Разложить оба числа, $a$ и $b$, на простые множители.
- Выписать все простые множители, которые встречаются хотя бы в одном из разложений.
- Для каждого простого множителя выбрать его в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях.
- Перемножить эти множители в выбранных степенях. Полученное произведение и будет НОК.
Алгоритм 2 (на основе связи НОД и НОК):
Используется теорема: произведение НОД и НОК двух чисел равно произведению самих этих чисел: $НОД(a, b) \cdot НОК(a, b) = a \cdot b$.
- Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
- Найти $НОД(a, b)$, используя эффективный метод (например, алгоритм Евклида).
- Вычислить НОК по формуле: $НОК(a, b) = \frac{a \cdot b}{НОД(a, b)}$.
Ответ: Представлены алгоритмы нахождения НОД и НОК, основанные как на прямом следовании определениям (перебор делителей или кратных), так и на более эффективных методах, следующих из теорем (разложение на простые множители, алгоритм Евклида и формула связи НОД и НОК).
Запишите алгоритм, определяющий, являются ли два числа взаимно простыми.
Определение: Два натуральных числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.
Алгоритм:
- Получить на вход два натуральных числа $a$ и $b$.
- Вычислить наибольший общий делитель этих чисел, $НОД(a, b)$, используя любой известный метод (наиболее эффективен алгоритм Евклида).
- Сравнить полученный НОД с единицей.
- Если $НОД(a, b) = 1$, то числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми.
- Если $НОД(a, b) > 1$, то числа не являются взаимно простыми.
Ответ: Алгоритм сводится к нахождению НОД двух чисел и проверке, равен ли он единице.
* 28.16. Напишите программу для решения этой задачи.
Эта программа на языке Python реализует все описанные выше алгоритмы. Она запрашивает у пользователя два числа, а затем выводит результаты проверки делимости, НОД, НОК и проверку на взаимную простоту.
# -*- coding: utf-8 -*-def check_divisor(a, b): "" Проверяет, является ли число 'a' делителем числа 'b'. "" if a == 0: return False return b % a == 0def gcd(a, b): "" Вычисляет Наибольший Общий Делитель (НОД) по алгоритму Евклида. "" while b: a, b = b, a % b return adef lcm(a, b): "" Вычисляет Наименьшее Общее Кратное (НОК), используя формулу НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b). "" if a == 0 or b == 0: return 0 return abs(a * b) // gcd(a, b)def are_coprime(a, b): "" Проверяет, являются ли два числа взаимно простыми. "" return gcd(a, b) == 1# Основная часть программыif __name__ == "__main__": try: num1 = int(input("Введите первое натуральное число: ")) num2 = int(input("Введите второе натуральное число: ")) if num1 <= 0 or num2 <= 0: print("Ошибка: Введите натуральные числа (больше 0).") else: print("\n--- Результаты ---") # Проверка делимости if check_divisor(num1, num2): print(f"Число {num1} является делителем числа {num2}.") else: print(f"Число {num1} не является делителем числа {num2}.") if check_divisor(num2, num1): print(f"Число {num2} является делителем числа {num1}.") else: print(f"Число {num2} не является делителем числа {num1}.") # НОД common_divisor = gcd(num1, num2) print(f"Наибольший общий делитель (НОД) чисел {num1} и {num2}: {common_divisor}") # НОК common_multiple = lcm(num1, num2) print(f"Наименьшее общее кратное (НОК) чисел {num1} и {num2}: {common_multiple}") # Проверка на взаимную простоту if are_coprime(num1, num2): print(f"Числа {num1} и {num2} являются взаимно простыми.") else: print(f"Числа {num1} и {num2} не являются взаимно простыми.") except ValueError: print("Ошибка: Введите, пожалуйста, целые числа.") Ответ: Приведена программа на языке Python, которая реализует функции для определения делимости, нахождения НОД и НОК, а также проверки чисел на взаимную простоту.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер §28 расположенного на странице 341 к учебнику серии алгоритм успеха 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №§28 (с. 341), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Поляков (Виталий Михайлович), углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.
 
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                     
                    