Номер §25, страница 340 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §25, страница 340.

Условие.

К § 25 «Математическое моделирование»

Можно ли для различных задач из этого параграфа создать общую математическую модель? Найдите такие задачи и составьте единый алгоритм для их решения.

Решение.

Да, для различных задач, которые обычно рассматриваются в рамках темы «Математическое моделирование», можно создать общую математическую модель. Это возможно для целого класса задач, которые, несмотря на различие в сюжете (движение, работа, покупки), описывают процессы с постоянной интенсивностью и имеют одинаковую математическую структуру.

Найдите такие задачи

К задачам, которые можно описать единой математической моделью, относятся:

• Задачи на движение (где связаны скорость, время и расстояние).
• Задачи на работу (где связаны производительность, время и объем выполненной работы).
• Задачи на стоимость (где связаны цена, количество и стоимость).
• Задачи на потоки (например, заполнение или опорожнение резервуара, где связаны скорость потока, время и объем).

Общая черта всех этих задач заключается в том, что в них фигурируют три величины, связанные одной и той же зависимостью. Обозначим эти величины обобщенно:

• $P$ – производительность процесса (это может быть скорость, производительность труда, цена, скорость наполнения и т.д.). Эта величина показывает, какой объем "результата" производится за единицу "времени".
• $t$ – продолжительность процесса (это может быть время, количество товара, и т.д.).
• $A$ – общий результат процесса (это может быть расстояние, объем выполненной работы, общая стоимость, общий объем жидкости и т.д.).

Основная формула (математическая модель), связывающая эти величины, имеет вид:

$A = P \cdot t$

Из этой основной формулы можно выразить две другие величины:

$P = \frac{A}{t}$ и $t = \frac{A}{P}$

Таким образом, хотя фабула задач разная, их математическая суть одинакова. Например:

• Для движения: Расстояние ($S$) = Скорость ($v$) × Время ($t$) $\rightarrow S = v \cdot t$.
• Для работы: Объем работы ($A$) = Производительность ($p$) × Время ($t$) $\rightarrow A = p \cdot t$.
• Для стоимости: Стоимость ($C$) = Цена ($c$) × Количество ($n$) $\rightarrow C = c \cdot n$.

Ответ: Общую математическую модель можно создать для задач на движение, на совместную работу, на стоимость товаров и других подобных задач, в которых итоговая величина является произведением интенсивности процесса на его продолжительность.

Составьте единый алгоритм для их решения

Единый алгоритм решения для всех вышеперечисленных типов задач можно представить в виде следующих шагов:

1. Анализ условия и систематизация данных. Внимательно прочитать условие задачи, определить, о каком процессе идет речь, и выявить три ключевые величины, соответствующие обобщенным $P$, $t$ и $A$. Все известные и неизвестные данные удобно занести в таблицу, где столбцами будут эти три величины, а строками – участники процесса (например, два пешехода, две трубы, два вида товара).
2. Введение переменной. Одну из искомых величин (или другую удобную величину) обозначить переменной, например, $x$. Затем, используя зависимости из условия, выразить через $x$ остальные неизвестные величины в таблице.
3. Составление математической модели (уравнения). Используя данные из таблицы и условия задачи, составить уравнение. Уравнение обычно отражает некоторое итоговое условие: например, суммарное расстояние равно заданному, общая работа выполнена, сумма стоимостей известна, время движения одинаково и т.д.
   Примеры условий для составления уравнений:
   • При совместной работе производительности складываются: $P_{общ} = P_1 + P_2$.
   • При движении навстречу скорости сближения складываются: $v_{сбл} = v_1 + v_2$.
   • Если время работы одинаково, то $t_1 = t_2$.
4. Решение уравнения. Решить составленное уравнение относительно введенной переменной $x$, используя алгебраические методы.
5. Интерпретация результата и запись ответа. Проверить, имеет ли найденный корень уравнения физический или экономический смысл в контексте задачи (например, скорость, время, цена не могут быть отрицательными). Если корень удовлетворяет условию, сформулировать и записать окончательный ответ на вопрос задачи.

Ответ: Единый алгоритм включает в себя пять шагов: анализ условия и составление таблицы (величины $P, t, A$), введение переменной, составление уравнения на основе основной формулы $A = P \cdot t$ и дополнительных условий задачи, решение этого уравнения и, наконец, интерпретацию полученного результата для формулировки ответа.