Номер §19, страница 339 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §19, страница 339.

Условие.

К § 19 «Квадратные уравнения. Решение неполных квадратных уравнений»

Запишите алгоритм для решения неполных квадратных уравнений в зависимости от их вида.

Решение.

Неполное квадратное уравнение — это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, в котором хотя бы один из коэффициентов $b$ или $c$ равен нулю (при этом коэффициент $a$ всегда не равен нулю). Алгоритм решения зависит от того, какие именно коэффициенты равны нулю.

1. Вид $ax^2 = 0$ (когда $b=0$ и $c=0$)

Это самый простой вид неполного квадратного уравнения. Оно всегда имеет ровно один корень.

1. Разделить обе части уравнения на коэффициент $a$. Так как $a \neq 0$, это допустимо.
   $x^2 = 0 / a$
2. Получаем уравнение:
   $x^2 = 0$
3. Единственное число, квадрат которого равен нулю, — это ноль.
   $x = 0$

Ответ: $x=0$.

2. Вид $ax^2 + bx = 0$ (когда $c=0, b \neq 0$)

Уравнение такого вида всегда имеет два корня.

1. Вынести общий множитель $x$ за скобки:
   $x(ax + b) = 0$
2. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому приравниваем к нулю каждый из множителей:
   $x = 0$ или $ax + b = 0$
3. Из первого уравнения сразу получаем первый корень: $x_1 = 0$.
4. Решаем второе линейное уравнение для нахождения второго корня:
   $ax = -b$
   $x_2 = -b/a$

Ответ: $x_1 = 0$, $x_2 = -b/a$.

3. Вид $ax^2 + c = 0$ (когда $b=0, c \neq 0$)

Количество корней в уравнении такого вида зависит от знаков коэффициентов $a$ и $c$.

1. Перенести свободный член $c$ в правую часть уравнения, изменив его знак:
   $ax^2 = -c$
2. Разделить обе части уравнения на коэффициент $a$:
   $x^2 = -c/a$
3. Проанализировать знак выражения $-c/a$ в правой части:
   • Если $-c/a < 0$ (это происходит, когда $a$ и $c$ имеют одинаковые знаки), то уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.
   • Если $-c/a > 0$ (это происходит, когда $a$ и $c$ имеют разные знаки), то уравнение имеет два противоположных по знаку корня. Для их нахождения нужно извлечь квадратный корень из правой части:
     $x = \pm\sqrt{-c/a}$

Ответ: если $-c/a < 0$ (или $a \cdot c > 0$), то корней нет; если $-c/a > 0$ (или $a \cdot c < 0$), то $x_1 = \sqrt{-c/a}$, $x_2 = -\sqrt{-c/a}$.