Номер §17, страница 339 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §17, страница 339.

Условие.

К § 17 «Тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни»

Вычислите значения выражений, приведённых в примерах 17.14, 17.15, 17.26, с помощью калькулятора без предварительного упрощения выражений. Будет ли получен точный результат?

Решение.

Для ответа на этот вопрос вычислим значения выражений из указанных примеров двумя способами: с помощью калькулятора без упрощения и путем аналитических преобразований для нахождения точного значения. Для демонстрации возьмем по одному подпункту из каждого номера.

Пример 17.14

Рассмотрим выражение $(\sqrt{14} - \sqrt{6})(\sqrt{14} + \sqrt{6})$.

1. Вычисление на калькуляторе.
Находим приближенные значения корней: $\sqrt{14} \approx 3.741657$ и $\sqrt{6} \approx 2.449489$.
Подставляем эти значения в выражение:
$(3.741657 - 2.449489) \cdot (3.741657 + 2.449489) = 1.292168 \cdot 6.191146 \approx 7.99999...$
В зависимости от разрядности и алгоритмов округления калькулятор может показать $7.99999999$ или $8$.

2. Точный расчет (упрощение).
Применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(\sqrt{14} - \sqrt{6})(\sqrt{14} + \sqrt{6}) = (\sqrt{14})^2 - (\sqrt{6})^2 = 14 - 6 = 8$.
Точное значение выражения равно $8$.

Вывод: Калькулятор из-за использования приближенных значений для корней выдает результат с погрешностью. Даже если на экране отображается целое число $8$, оно является результатом округления неточного внутреннего представления числа.

Ответ: Приближенное значение $\approx 8$, точное значение $8$.

Пример 17.15

Рассмотрим выражение $(\sqrt{6} - 1)^2$.

1. Вычисление на калькуляторе.
Находим приближенное значение корня: $\sqrt{6} \approx 2.44949$.
Подставляем это значение в выражение:
$(2.44949 - 1)^2 = (1.44949)^2 \approx 2.101021$.

2. Точный расчет (упрощение).
Применяем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(\sqrt{6} - 1)^2 = (\sqrt{6})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot 1 + 1^2 = 6 - 2\sqrt{6} + 1 = 7 - 2\sqrt{6}$.
Точное значение выражения — иррациональное число $7 - 2\sqrt{6}$.

Вывод: Калькулятор выдает десятичное приближение иррационального числа, которое по определению не может быть точным, так как имеет бесконечную непериодическую десятичную часть.

Ответ: Приближенное значение $\approx 2.101$, точное значение $7 - 2\sqrt{6}$.

Пример 17.26

Рассмотрим выражение $(\sqrt{4+\sqrt{7}} + \sqrt{4-\sqrt{7}})^2$.

1. Вычисление на калькуляторе.
Находим приближенные значения: $\sqrt{7} \approx 2.64575$.
Подставляем в выражение:
$(\sqrt{4+2.64575} + \sqrt{4-2.64575})^2 = (\sqrt{6.64575} + \sqrt{1.35425})^2 \approx (2.57794 + 1.16372)^2 = (3.74166)^2 \approx 14.0000...$
Результат на калькуляторе будет очень близок к $14$.

2. Точный расчет (упрощение).
Применяем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:
$(\sqrt{4+\sqrt{7}})^2 + 2\sqrt{(4+\sqrt{7})(4-\sqrt{7})} + (\sqrt{4-\sqrt{7}})^2 = $
$= (4+\sqrt{7}) + 2\sqrt{4^2 - (\sqrt{7})^2} + (4-\sqrt{7}) = $
$= 8 + 2\sqrt{16-7} = 8 + 2\sqrt{9} = 8 + 2 \cdot 3 = 8 + 6 = 14$.
Точное значение выражения равно $14$.

Вывод: Как и в первом примере, точное значение является целым числом, но калькулятор получает его через вычисления с приближенными значениями, что приводит к накоплению погрешности.

Ответ: Приближенное значение $\approx 14$, точное значение $14$.

---

Будет ли получен точный результат?

Нет, в общем случае при вычислении на калькуляторе без предварительного упрощения выражений точный результат не будет получен, или его получение не гарантировано.

Это связано с тем, что калькулятор оперирует десятичными приближениями иррациональных чисел (значений квадратных корней), которые имеют конечную точность. Каждое такое приближение вносит погрешность, которая накапливается в ходе выполнения последующих арифметических операций.

1. Если точный результат выражения — рациональное число (например, целое, как в примерах 17.14 и 17.26), калькулятор в результате вычислений с погрешностями получит число, очень близкое к точному (например, $7.99999...$ вместо $8$). Хотя некоторые калькуляторы могут округлить этот результат до целого числа, сам процесс вычисления не является точным.

2. Если точный результат — иррациональное число (как в примере 17.15), то калькулятор по определению способен отобразить лишь его приближенное значение с ограниченным количеством знаков после запятой.

Гарантированно точный результат можно получить только путем тождественных (символьных) преобразований выражений.

Ответ: Нет, точный результат не будет получен из-за ошибок округления, возникающих при работе калькулятора с приближенными значениями иррациональных чисел.