Номер §15, страница 338 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §15, страница 338.

Условие.

K § 15 «Множество действительных чисел»

Для каждого из числовых множеств введите в калькуляторе несколько элементов этого множества. Любое ли рациональное число вы можете ввести со всеми его цифрами? Можно ли ввести иррациональное число? Насколько точно представляет калькулятор эти числа? Сделайте вывод.

Как в калькуляторе можно задать число $π$?

Придумайте пример выражения с переменными, заданными рациональными числами, которые можно задать точно, а результатом будет действительное или иррациональное число, которое калькулятор отображает приближённо. Вычислите значение этого выражения с помощью калькулятора.

15.6, 15.7. Выполните задание с помощью калькулятора и (или) других программ, которыми вы пользуетесь для вычислений.

Решение.

К

Возможность точного ввода числа в калькулятор зависит от его типа и разрядности дисплея.

Любое ли рациональное число вы можете ввести со всеми его цифрами?
Нет, не любое. Рациональное число, представимое в виде конечной десятичной дроби (например, $1/4 = 0.25$), можно ввести точно, если количество цифр не превышает вместимость калькулятора. Однако рациональное число, являющееся бесконечной периодической дробью (например, $1/3 = 0.333...$), ввести со всеми его цифрами невозможно, так как их бесконечно много. Калькулятор сохранит и покажет лишь его приближение, например, $0.33333333$.

Можно ли ввести иррациональное число?
Нет, ввести иррациональное число со всеми его цифрами невозможно, так как по определению оно является бесконечной непериодической десятичной дробью. Калькулятор всегда работает только с его рациональным приближением.

Насколько точно представляет калькулятор эти числа? Сделайте вывод.
Калькулятор представляет числа с точностью, ограниченной его разрядностью (количеством знаков, которые он может хранить в памяти и отображать на дисплее). Таким образом, для всех иррациональных чисел и для большинства рациональных чисел (с длинным или бесконечным десятичным представлением) калькулятор оперирует их приближёнными значениями. Вывод: калькулятор работает не с точными значениями всех действительных чисел, а с их рациональными приближениями с ограниченной точностью.

Как в калькуляторе можно задать число $\pi$?
В большинстве инженерных или научных калькуляторов есть специальная кнопка [π], которая вызывает из памяти устройства заранее сохранённое значение числа $\pi$ с высокой точностью (например, $3.1415926535...$).

Ответ: Калькулятор может точно представить только те рациональные числа, десятичная запись которых конечна и умещается на его дисплее. Иррациональные числа и рациональные числа с бесконечной периодической десятичной записью представляются приближённо. Число $\pi$ обычно задаётся с помощью специальной кнопки [π].

А

Примером выражения с переменными, заданными рациональными числами, результатом которого будет иррациональное число, может служить извлечение квадратного корня.

Возьмём выражение $\sqrt{x}$.

Зададим переменную $x$ рациональным числом, которое можно ввести в калькулятор точно. Например, $x = 2$.

Результатом вычисления выражения $\sqrt{2}$ является иррациональное число. Вычислим его значение с помощью калькулятора: $\sqrt{2} \approx 1.41421356$

Это значение является приближённым, так как калькулятор обрывает бесконечную непериодическую последовательность цифр после запятой. Таким образом, исходное данное ($2$) мы задали точно, а результат ($\sqrt{2}$) калькулятор показал приближённо.

Ответ: Пример выражения: $\sqrt{x}$, где $x = 2$. Рациональное число $2$ задаётся точно. Результат, вычисленный на калькуляторе, является приближённым значением иррационального числа: $\sqrt{2} \approx 1.41421356$.