Номер §14, страница 338 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §14, страница 338.

Условие.

К § 14 «Квадратные корни. Арифметический квадратный корень»

Научитесь извлекать квадратный корень с помощью калькулятора и других программ, которыми вы пользуетесь для вычислений.

14.12. Выполните задание двумя способами: 1) упростив выражение, не используя калькулятор; 2) вычислив его значение с помощью калькулятора без предварительного упрощения. Сделайте выводы.

14.38. Выполните задание с помощью графического редактора. Какие новые инструменты для закраски части плоскости вы освоили?

Решение.

Поскольку в тексте задания 14.12 не указано конкретное математическое выражение, для демонстрации двух способов решения воспользуемся типичным примером из данной темы: $ \sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{12} $.

1) упростив выражение, не используя калькулятор

Основная идея этого способа — вынести из-под знака корня множители, являющиеся точными квадратами. Для этого разложим подкоренные выражения на множители и применим свойство $ \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} $ (для $ a \ge 0, b \ge 0 $).

1. Разложим каждое число под корнем:

$ \sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3} $

$ \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} $

$ \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} $

2. Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$ \sqrt{75} - \sqrt{48} + \sqrt{12} = 5\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} $

3. Все слагаемые содержат общий множитель $ \sqrt{3} $. Вынесем его за скобки и выполним действия с коэффициентами:

$ (5 - 4 + 2)\sqrt{3} = (1 + 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} $

В результате мы получили точное значение выражения.

Ответ: $ 3\sqrt{3} $.

2) вычислив его значение с помощью калькулятора без предварительного упрощения

В этом способе мы последовательно вычисляем на калькуляторе значение каждого корня, а затем выполняем арифметические действия с полученными приближенными значениями.

1. Вычислим значения корней (возьмем, для примера, 5 знаков после запятой):

$ \sqrt{75} \approx 8.66025 $

$ \sqrt{48} \approx 6.92820 $

$ \sqrt{12} \approx 3.46410 $

2. Подставим эти значения в выражение:

$ 8.66025 - 6.92820 + 3.46410 $

3. Выполним вычисления:

$ 8.66025 - 6.92820 + 3.46410 = 1.73205 + 3.46410 = 5.19615 $

Для сравнения вычислим на калькуляторе значение ответа, полученного первым способом: $ 3\sqrt{3} \approx 3 \cdot 1.73205 = 5.19615 $.

Как мы видим, результаты совпадают (в пределах выбранной точности).

Ответ: $ \approx 5.19615 $.

Сделайте выводы

Сравнение двух методов решения позволяет сделать следующие выводы:

1. Точность. Первый способ (упрощение) дает абсолютно точный математический результат в виде $ 3\sqrt{3} $. Второй способ (с калькулятором) дает лишь приближенное десятичное значение, точность которого ограничена разрядностью калькулятора и может приводить к погрешностям при округлении промежуточных результатов.

2. Понимание. Первый способ требует знания свойств квадратных корней и умения их применять, что развивает математическое мышление и демонстрирует структуру числа. Второй способ — это, по сути, механическая операция, не требующая глубокого понимания алгебраических преобразований.

3. Применимость. В теоретических задачах, где требуется точный ответ, необходимо использовать первый способ. В прикладных и инженерных расчетах, где для практических целей достаточно числового значения с определенной точностью, второй способ является более быстрым и удобным.

4. Проверка. Эти два способа отлично дополняют друг друга. Можно найти точный ответ путем упрощения, а затем проверить его, вычислив приближенное значение на калькуляторе и сравнив с результатом прямого вычисления исходного выражения.