Номер §21, страница 339 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §21, страница 339.

Условие.

K § 21 «Теорема Виета»

Придумайте два числа, десятичная запись каждого из которых содержит несколько цифр до и после запятой. Используя следствие из теоремы, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, для которого данные числа являются корнями. Для вычислений используйте калькулятор. 21.44. Запишите алгоритм для решения этой задачи методом перебора.

Решение.

К § 21 «Теорема Виета»

Задача состоит в том, чтобы выбрать два десятичных числа, а затем составить для них квадратное уравнение, корнями которого они являются. Для этого мы будем использовать следствие из теоремы, обратной теореме Виета.

1. Выберем два числа, в десятичной записи которых есть несколько цифр до и после запятой. Например, пусть наши числа (будущие корни) будут $x_1 = 15.25$ и $x_2 = 11.4$.

2. Согласно следствию из теоремы, обратной теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — корни, выполняются следующие соотношения:

   $x_1 + x_2 = -p$

   $x_1 \cdot x_2 = q$

3. Используя калькулятор, найдем сумму и произведение наших корней:

   Сумма: $x_1 + x_2 = 15.25 + 11.4 = 26.65$.

   Произведение: $x_1 \cdot x_2 = 15.25 \cdot 11.4 = 173.85$.

4. Теперь мы можем найти коэффициенты $p$ и $q$ для нашего уравнения:

   Из $x_1 + x_2 = -p$ следует, что $26.65 = -p$, откуда $p = -26.65$.

   Из $x_1 \cdot x_2 = q$ следует, что $q = 173.85$.

5. Подставим найденные значения $p$ и $q$ в общую формулу приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$.

   Получаем: $x^2 - 26.65x + 173.85 = 0$.

Ответ: Для чисел $15.25$ и $11.4$ квадратное уравнение, корнями которого они являются, имеет вид $x^2 - 26.65x + 173.85 = 0$.

21.44.

Алгоритм решения этой задачи методом перебора является очень неэффективным, но возможным. Он заключается в систематической проверке пар коэффициентов, пока не найдется подходящая. Пусть даны корни $x_1$ и $x_2$. Искомое уравнение будем искать в виде $x^2 + bx + c = 0$.

1. Определить диапазон и шаг перебора для коэффициентов $b$ и $c$. Например, искать $b$ и $c$ в диапазоне от $-1000$ до $1000$ с шагом $0.01$. Выбор диапазона и шага зависит от предполагаемой величины и точности корней.

2. Создать внешний цикл, который перебирает значения коэффициента $b$ от начального до конечного значения с заданным шагом.

3. Внутри внешнего цикла создать внутренний цикл, который перебирает значения коэффициента $c$ от начального до конечного значения с заданным шагом.

4. На каждой итерации внутреннего цикла для текущей пары $(b, c)$ проверить, являются ли данные числа $x_1$ и $x_2$ корнями уравнения $x^2 + bx + c = 0$. Для этого нужно подставить каждое число в уравнение:

   а) Вычислить $E_1 = x_1^2 + b \cdot x_1 + c$.

   б) Вычислить $E_2 = x_2^2 + b \cdot x_2 + c$.

5. Сравнить полученные значения $E_1$ и $E_2$ с нулем. Поскольку вычисления с десятичными дробями могут давать погрешность, проверка должна выглядеть так: $|E_1| < \epsilon$ и $|E_2| < \epsilon$, где $\epsilon$ — очень маленькое число (например, $10^{-9}$).

6. Если оба условия из шага 5 выполнены, значит, искомые коэффициенты $b$ и $c$ найдены. Алгоритм выводит уравнение $x^2 + bx + c = 0$ и прекращает работу.

7. Если циклы завершили работу, а решение не было найдено, следует либо расширить диапазон поиска, либо уменьшить шаг (увеличить точность) и повторить алгоритм.

Ответ: Алгоритм заключается в организации вложенных циклов для перебора коэффициентов $b$ и $c$ с определенным шагом и проверке на каждой итерации, удовлетворяют ли заданные корни $x_1$ и $x_2$ уравнению $x^2 + bx + c = 0$ с некоторой допустимой погрешностью.