Номер §22, страница 340 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §22, страница 340.

Условие.

К § 22 «Квадратный трёхчлен»

Запишите алгоритм для разложения квадратного трёхчлена с числовыми коэффициентами на линейные множители.

22.28. Создайте математическую модель для решения этой задачи в общем виде.

Квадратный трёхчлен имеет вид: $ax^2 + bx + c$, где $a \neq 0$.

Для его разложения на линейные множители $a(x - x_1)(x - x_2)$, сначала вычисляется дискриминант $D$:

$D = b^2 - 4ac$

Затем находятся корни $x_1$ и $x_2$ (при $D \geq 0$):

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

После нахождения корней, квадратный трёхчлен может быть представлен в виде:

$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$

Решение.

Запишите алгоритм для разложения квадратного трёхчлена с числовыми коэффициентами на линейные множители.

Алгоритм разложения квадратного трёхчлена вида $ax^2 + bx + c$ на линейные множители включает следующие шаги:

1. Сформировать соответствующее квадратному трёхчлену уравнение, приравняв его к нулю: $ax^2 + bx + c = 0$.
2. Вычислить дискриминант $D$ полученного квадратного уравнения по формуле: $D = b^2 - 4ac$.
3. Проанализировать знак дискриминанта:
   • Если $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, квадратный трёхчлен нельзя разложить на линейные множители с действительными коэффициентами. На этом выполнение алгоритма завершается.
   • Если $D \ge 0$, уравнение имеет действительные корни, и разложение возможно. Необходимо перейти к следующему шагу.
4. Найти корни уравнения ($x_1$ и $x_2$) по общей формуле: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.
   • Если $D > 0$, уравнение имеет два различных корня: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}$.
   • Если $D = 0$, уравнение имеет один корень (или два равных корня): $x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}$.
5. Записать разложение квадратного трёхчлена, используя формулу: $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Если корни совпадают ($D=0$), формула принимает вид $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)^2$.

Ответ: Алгоритм заключается в нахождении корней $x_1, x_2$ соответствующего квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ через дискриминант и последующей подстановке этих корней в формулу разложения $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. Если действительных корней нет, разложение невозможно.

22.28. Создайте математическую модель для решения этой задачи в общем виде.

Математическая модель для решения задачи разложения квадратного трёхчлена на линейные множители в общем виде описывает объект, цель, математические соотношения и ограничения.

1. Исходные данные (параметры модели):
Коэффициенты квадратного трёхчлена $a, b, c$, которые являются действительными числами ($a, b, c \in \mathbb{R}$), причём старший коэффициент не равен нулю ($a \neq 0$).

2. Математическое ядро модели:
Основу модели составляет тождество, которое связывает квадратный трёхчлен с его корнями $x_1$ и $x_2$:
$ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$
Это равенство является тождеством, если $x_1$ и $x_2$ — корни квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

3. Расчётные формулы:
Для нахождения неизвестных параметров модели, корней $x_1$ и $x_2$, используется формула корней квадратного уравнения. Вычисление зависит от значения дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

4. Ограничения применимости модели:
Модель позволяет получить разложение на линейные множители с действительными коэффициентами только в том случае, если существуют действительные корни. Условием существования таких корней является неотрицательность дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac \ge 0$.
Если $D < 0$, модель не имеет решения в поле действительных чисел.

5. Результат модели:
При $D \ge 0$ результатом является представление исходного трёхчлена в виде произведения $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ вычислены по указанным выше формулам.

Ответ: Математическая модель задачи — это тождество $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$, где параметры $x_1$ и $x_2$ (корни) находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ при условии, что $b^2 - 4ac \ge 0$.