Номер §16, страница 339 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §16, страница 339.

Условие.

К § 16 «Свойства арифметического квадратного корня»

16.19. Выполните вычисления примера 3 с помощью калькулятора, не упрощая предварительно выражение. Какой способ решения оказался проще — с использованием или без использования калькулятора?

Решение.

Поскольку в задании не приведен "пример 3", для ответа на вопрос воспользуемся типичным выражением из данной темы, которое наглядно демонстрирует преимущества упрощения: найти значение $\sqrt{52} \cdot \sqrt{13}$.

Выполнение вычислений примера 3 с помощью калькулятора, не упрощая предварительно выражение

Чтобы вычислить значение выражения $\sqrt{52} \cdot \sqrt{13}$ с помощью калькулятора, не упрощая его, нужно последовательно выполнить следующие действия:

1. Ввести число 52 и нажать кнопку извлечения квадратного корня ($\sqrt{}$). На экране появится приближенное значение: $\sqrt{52} \approx 7,21110255...$

2. Ввести число 13 и нажать кнопку извлечения квадратного корня ($\sqrt{}$). На экране появится приближенное значение: $\sqrt{13} \approx 3,60555127...$

3. Перемножить полученные результаты. Если выполнять все действия в одной строке на калькуляторе, он использует внутреннюю, более высокую точность, и результат будет точным: $7,21110255... \times 3,60555127... = 26$.

Ответ: 26.

Какой способ решения оказался проще — с использованием или без использования калькулятора?

Для ответа на этот вопрос сравним два подхода к вычислению значения выражения $\sqrt{52} \cdot \sqrt{13}$.

Способ 1: С использованием калькулятора без предварительного упрощения.

Этот способ заключается в прямом вычислении корней и их последующем перемножении на калькуляторе, как это было показано выше. Он является быстрым при наличии под рукой калькулятора. Однако этот метод работает с иррациональными числами, представленными в виде приближенных десятичных дробей. Его главный недостаток — возможная потеря точности, если записывать и использовать округленные промежуточные результаты. Кроме того, этот метод не требует понимания математических свойств и является чисто механическим.

Способ 2: Без использования калькулятора, с предварительным упрощением.

Этот способ основан на применении свойства произведения квадратных корней: $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ для неотрицательных $a$ и $b$.

Сначала упростим выражение:

$\sqrt{52} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{52 \cdot 13} = \sqrt{676}$

Далее нужно найти корень из 676. Можно заметить, что $20^2 = 400$ и $30^2 = 900$, а число 676 оканчивается на 6, значит, корень должен оканчиваться на 4 или 6. Проверив $26^2$, получаем $26 \cdot 26 = 676$.

Существует и более простой вариант упрощения, если разложить один из множителей:

$\sqrt{52} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{4 \cdot 13} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{13} \cdot \sqrt{13} = 2 \cdot 13 = 26$.

Этот метод позволяет получить точный ответ, выполнив простые арифметические операции. Он демонстрирует понимание свойств квадратных корней и является более "математическим".

Вывод:

Способ с предварительным упрощением (без калькулятора) является более наглядным и, в конечном счете, простым. Он приводит к точному результату, развивает математическое мышление и навыки счета. Решение "в лоб" на калькуляторе, хоть и быстрое, является чисто механической операцией, которая скрывает суть задачи и может привести к ошибкам округления, если не выполнять вычисления в одной строке.

Ответ: Способ решения без использования калькулятора (с предварительным упрощением) оказался проще.