Номер §11, страница 338 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §11, страница 338.

Условие.

К § 11 «Системы и совокупности линейных неравенств с одной переменной»

Проиллюстрируйте с помощью графического редактора процесс решения системы неравенств; совокупности неравенств (на примере любого задания этого параграфа). Какие средства графического редактора позволяют сделать иллюстрацию наглядной?

Решение.

Для иллюстрации процесса решения систем и совокупностей неравенств с одной переменной воспользуемся любым графическим редактором (например, Paint, GIMP, Adobe Photoshop или онлайн-редакторами).

Процесс решения системы неравенств

Решением системы неравенств является пересечение множеств решений каждого из неравенств. Проиллюстрируем это на примере.

Пример системы:

$ \begin{cases} 3x + 2 > x - 2 \\ 4 - x \ge 2x - 5 \end{cases} $

1. Решение неравенств:

$ \begin{cases} 3x - x > -2 - 2 \\ -x - 2x \ge -5 - 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x > -4 \\ -3x \ge -9 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -2 \\ x \le 3 \end{cases} $

2. Графическая иллюстрация процесса:

1. С помощью инструмента "Линия" рисуем горизонтальную числовую ось и подписываем ее (например, $x$).
2. Инструментом "Текст" отмечаем на оси ключевые точки: $-2$ и $3$.
3. Изображаем решение первого неравенства $x > -2$:
   • Так как неравенство строгое ($>$), точка $-2$ не входит в решение. Изображаем ее "выколотой" — рисуем незакрашенный кружок с помощью инструмента "Эллипс".
   • Решением являются все числа, которые больше $-2$. Заштриховываем область справа от $-2$. Для штриховки можно использовать инструмент "Кисть", "Карандаш" или полупрозрачный "Прямоугольник". Выберем для этой области, например, синий цвет.
4. Изображаем решение второго неравенства $x \le 3$:
   • Неравенство нестрогое ($\le$), поэтому точка $3$ входит в решение. Изображаем ее "закрашенной" — рисуем закрашенный кружок.
   • Решением являются все числа, которые меньше или равны $3$. Заштриховываем область слева от $3$. Чтобы штриховки не сливались, наносим ее чуть выше или ниже первой и используем другой цвет, например, красный.
5. Находим решение системы. Решением является общая часть для обоих решений — там, где штриховки пересекаются (накладываются друг на друга). На иллюстрации это будет промежуток, закрашенный обоими цветами.
6. Выделяем итоговый промежуток от $-2$ (не включая) до $3$ (включая).

Ответ: $x \in (-2, 3]$

Процесс решения совокупности неравенств

Решением совокупности неравенств является объединение множеств решений каждого из неравенств.

Пример совокупности:

$ \begin{bmatrix} x + 1 > 3 \\ 2x - 5 \le -7 \end{bmatrix} $

1. Решение неравенств:

$ \begin{bmatrix} x > 3 - 1 \\ 2x \le -7 + 5 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x > 2 \\ 2x \le -2 \end{bmatrix} \Rightarrow \begin{bmatrix} x > 2 \\ x \le -1 \end{bmatrix} $

2. Графическая иллюстрация процесса:

1. Рисуем числовую ось $x$ и отмечаем на ней точки $-1$ и $2$.
2. Изображаем решение первого неравенства $x > 2$:
   • Точка $2$ "выколотая".
   • Заштриховываем область справа от $2$.
3. Изображаем решение второго неравенства $x \le -1$:
   • Точка $-1$ "закрашенная".
   • Заштриховываем область слева от $-1$.
4. Находим решение совокупности. Решением является объединение всех заштрихованных областей.
5. Получаем два отдельных промежутка, которые вместе и составляют решение.

Ответ: $x \in (-\infty, -1] \cup (2, +\infty)$

Какие средства графического редактора позволяют сделать иллюстрацию наглядной?

Для создания наглядной иллюстрации в графическом редакторе полезны следующие средства:

• Инструмент "Линия": для создания числовой оси. Возможность изменять толщину и стиль линии (например, добавлять стрелку на конце) повышает читаемость.
• Инструмент "Эллипс/Круг": для изображения граничных точек. Возможность управлять заливкой (есть заливка / нет заливки) позволяет легко отличать "закрашенные" (нестрогое неравенство) и "выколотые" (строгое неравенство) точки.
• Инструмент "Текст": для подписи оси, числовых значений и записи итогового ответа.
• Палитра цветов: использование разных цветов для штриховки решений разных неравенств делает иллюстрацию интуитивно понятной. При решении системы область пересечения цветов наглядно показывает итоговый интервал.
• Инструменты штриховки ("Кисть", "Прямоугольник", "Заливка"): позволяют визуально выделить интервалы, являющиеся решениями.
• Настройка прозрачности/непрозрачности (Opacity): это одно из самых мощных средств. Если сделать штриховки полупрозрачными, то при решении системы область их наложения будет иметь смешанный, более темный цвет, что однозначно указывает на пересечение множеств.
• Слои (Layers): в более продвинутых редакторах (GIMP, Photoshop) возможность рисовать ось, первую штриховку и вторую штриховку на разных слоях значительно упрощает редактирование и позволяет аккуратно расположить элементы, не затрагивая друг друга.

Ответ: Наиболее важными средствами для создания наглядной иллюстрации являются: использование разных цветов для решений отдельных неравенств, возможность рисовать "выколотые" и "закрашенные" точки, а также применение полупрозрачной штриховки, которая при наложении наглядно демонстрирует пересечение (для систем) или объединение (для совокупностей) множеств.