Номер §6, страница 337 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §6, страница 337.

Условие.

К § 6 «Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения»

6.18. Решите эту задачу с помощью калькулятора.

Решение.

На изображении представлена задача 6.18 с указанием решить ее с помощью калькулятора. Однако текст самой задачи отсутствует. Поскольку задача относится к теме «Равносильные уравнения. Уравнение-следствие. Рациональные уравнения», можно предположить, что она представляет собой либо рациональное уравнение, приводящее к громоздким вычислениям, либо текстовую задачу, для решения которой составляется такое уравнение.

Ниже приведено решение типичной задачи по данной теме, которая требует использования калькулятора.

Условие

Две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 5 часов. Первая труба, работая в одиночку, может наполнить бассейн на 3 часа быстрее, чем вторая. За какое время каждая труба наполнит бассейн, работая отдельно? Ответ округлите до сотых.

Решение

1. Введем переменные. Пусть $x$ часов — время, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая отдельно. Тогда первая труба наполняет бассейн за $(x-3)$ часов.

2. Определим производительность (скорость работы) каждой трубы. Производительность — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Если вся работа (наполнение бассейна) равна 1, то:
- Производительность второй трубы: $\frac{1}{x}$ бассейна в час.
- Производительность первой трубы: $\frac{1}{x-3}$ бассейна в час.
По условию задачи, время $x$ должно быть положительным. Кроме того, так как первая труба работает быстрее, время ее работы $(x-3)$ также должно быть положительным, откуда следует $x > 3$. Это область допустимых значений (ОДЗ) для нашей задачи.

3. Составим уравнение. При совместной работе производительности складываются. Совместная производительность двух труб равна $\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3}$. По условию, вместе они наполняют бассейн за 5 часов, значит, их совместная производительность равна $\frac{1}{5}$ бассейна в час. Получаем рациональное уравнение:

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x-3} = \frac{1}{5}$

4. Решим полученное уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{x-3+x}{x(x-3)} = \frac{1}{5}$

$\frac{2x-3}{x^2-3x} = \frac{1}{5}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$5(2x-3) = 1(x^2-3x)$

$10x - 15 = x^2 - 3x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 3x - 10x + 15 = 0$

$x^2 - 13x + 15 = 0$

5. Найдем корни квадратного уравнения. Воспользуемся формулой корней: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$, где $D = b^2-4ac$ — дискриминант. В нашем случае $a=1, b=-13, c=15$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 169 - 60 = 109$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. На этом шаге нам понадобится калькулятор, чтобы извлечь корень из 109.

$\sqrt{109} \approx 10.44$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{13 + \sqrt{109}}{2} \approx \frac{13 + 10.44}{2} = \frac{23.44}{2} = 11.72$

$x_2 = \frac{13 - \sqrt{109}}{2} \approx \frac{13 - 10.44}{2} = \frac{2.56}{2} = 1.28$

6. Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x > 3$).
- $x_1 \approx 11.72$. Этот корень удовлетворяет условию $x > 3$.
- $x_2 \approx 1.28$. Этот корень не удовлетворяет условию $x > 3$, поэтому он является посторонним. Таким образом, единственное решение, имеющее физический смысл, — это $x \approx 11.72$.

7. Найдем время работы для каждой трубы и округлим результат до сотых.
- Время работы второй трубы: $x \approx 11.72$ часа.
- Время работы первой трубы: $x - 3 \approx 11.72 - 3 = 8.72$ часа.

Ответ: первая труба наполнит бассейн примерно за 8,72 часа, а вторая — примерно за 11,72 часа.