Номер §1, страница 336 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Дружим с компьютером - номер §1, страница 336.

Условие.

K § 1 «Повторение и расширение сведений о множествах. Подмножество»

Найдите с помощью Интернета какие-нибудь интересные факты и опишите их, используя слова «множество», «элемент множества», «пустое множество». Задайте какие-либо множества с помощью перечисления элементов и с помощью задания характеристического свойства.

С помощью какой структуры данных в программировании удобно задавать числовое множество?

Пусть даны два числовых множества. Запишите алгоритм, который определяет: 1) равны ли данные множества; 2) является ли второе множество подмножеством первого.

Решение.

Интересные факты о множествах

Один из поразительных фактов в теории множеств, установленный математиком Георгом Кантором, заключается в том, что существует бесконечное число "размеров" бесконечности. Например, множество всех натуральных чисел ($\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ...\}$) и множество всех действительных чисел ($\mathbb{R}$) оба бесконечны, но их мощности (размеры) различны. Невозможно сопоставить каждому элементу одного множества уникальный элемент другого. Каждый отдельный номер, например, 5, является элементом множества $\mathbb{N}$, а число $\pi$ — элементом множества $\mathbb{R}$.

Другой важный концепт — это пустое множество, обозначаемое как $\emptyset$ или $\{ \}$. Это уникальное множество, не содержащее ни одного элемента. Например, множество целых чисел, которые одновременно и четные, и нечетные, является пустым множеством. Важное свойство пустого множества заключается в том, что оно является подмножеством любого другого множества.

Ответ: Интересный факт заключается в существовании бесконечных множеств разных "размеров" (мощностей). Например, множество действительных чисел "мощнее" множества натуральных чисел. Пустое множество ($\emptyset$) не содержит элементов и является подмножеством любого множества.

Примеры задания множеств

Множества можно задавать двумя основными способами:

1. Перечисление элементов. Этот способ подходит для конечных множеств, где мы можем перечислить все его элементы.
Пример: Множество $A$ дней недели: $A = \{\text{понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}\}$.

2. Задание характеристического свойства. Этот способ описывает общее свойство, которым обладают все элементы множества и не обладают никакие другие объекты.
Пример: Множество $B$ всех натуральных чисел, меньших 10: $B = \{x \mid x \in \mathbb{N} \text{ и } x < 10\}$.

Ответ: Множества можно задать либо перечислением всех его элементов, например, $C = \{1, 3, 5, 7\}$, либо указанием общего свойства для всех его элементов, например, $C = \{x \mid x \text{ — нечетное натуральное число меньше 8}\}$.

Структура данных для множеств в программировании

В программировании для представления числового множества наиболее удобной является специализированная структура данных «Множество» (Set). Эта структура есть во многих современных языках программирования (например, Set в JavaScript, set в Python, HashSet в Java).

Ее ключевые преимущества:

• Уникальность элементов: она автоматически гарантирует, что каждый элемент в множестве встречается только один раз, что полностью соответствует математическому определению.
• Быстрые операции: проверка принадлежности элемента множеству (поиск), а также добавление и удаление элементов обычно выполняются очень быстро (в среднем за константное время, $O(1)$).

Ответ: В программировании для задания числового множества удобно использовать структуру данных «Множество» (Set), так как она гарантирует уникальность элементов и обеспечивает высокую скорость выполнения операций, таких как поиск, добавление и удаление.

Алгоритм для сравнения двух числовых множеств

Пусть даны два числовых множества $A$ и $B$.

1) равны ли данные множества
Два множества $A$ и $B$ равны ($A=B$), если они состоят из одних и тех же элементов.
Алгоритм проверки на равенство:

1. Сравнить количество элементов в множествах $A$ и $B$. Если оно разное ($|A| \ne |B|$), то множества точно не равны.
2. Если количество элементов совпадает, то для каждого элемента из множества $A$ проверить, содержится ли он в множестве $B$.
3. Если хотя бы один элемент из $A$ не найден в $B$, то множества не равны.
4. Если все элементы из $A$ найдены в $B$, то множества равны.

Ответ: Чтобы определить, равны ли множества $A$ и $B$, нужно сначала проверить равенство их мощностей ($|A| = |B|$), а затем убедиться, что каждый элемент множества $A$ также является элементом множества $B$.

2) является ли второе множество подмножеством первого
Множество $B$ является подмножеством множества $A$ ($B \subseteq A$), если каждый элемент множества $B$ также является элементом множества $A$.
Алгоритм проверки на подмножество:

1. Взять поочередно каждый элемент $b$ из множества $B$.
2. Для каждого элемента $b$ проверить, содержится ли он в множестве $A$.
3. Если найден элемент $b \in B$, который не содержится в $A$ ($b \notin A$), то $B$ не является подмножеством $A$, и проверку можно остановить.
4. Если проверка прошла для всех элементов из $B$ и все они найдены в $A$, то $B$ является подмножеством $A$.

Ответ: Чтобы определить, является ли множество $B$ подмножеством множества $A$, нужно для каждого элемента из $B$ проверить его наличие в множестве $A$. Если все элементы из $B$ присутствуют в $A$, то $B$ является подмножеством $A$.