Номер 7, страница 331 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 7, страница 331.

Условие.

7. Формула включений и исключений

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. — ФИМА : МЦНМО, 2006.

2) Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984.

3) Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004.

4) Яглом И. Заплаты на кафтане // Квант. — 1974. — № 2.

5) http://ru.wikipedia.org/wiki/ — Формула включений и исключений.

6) http://school-collection.edu.ru/catalog/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

7) http://www.problems.ru/ — Задачи из разных разделов математики.

Решение.

Изображение содержит не задачу или вопрос, а название темы "Формула включений и исключений" и список рекомендуемых источников. Ниже представлено развернутое объяснение этого математического принципа.

Определение

Формула включений и исключений (или принцип включений и исключений) — это комбинаторная формула, позволяющая найти мощность (количество элементов) объединения нескольких конечных множеств. Принцип гласит, что для нахождения числа элементов в объединении множеств нужно сложить их мощности, затем вычесть мощности всех попарных пересечений, затем прибавить мощности всех тройных пересечений, и так далее, чередуя знаки. Это позволяет избежать многократного подсчета элементов, принадлежащих нескольким множествам одновременно.

Ответ: Формула включений и исключений — это комбинаторный принцип для нахождения числа элементов в объединении конечных множеств путем чередующегося сложения и вычитания мощностей этих множеств и их различных пересечений.

Формула для двух и трех множеств

Для наглядности рассмотрим самые простые и часто используемые случаи.

Случай двух множеств. Пусть есть два множества, $A$ и $B$. Количество элементов в их объединении ($A \cup B$) вычисляется по формуле:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$
Здесь $|A|$ и $|B|$ — это количество элементов в множествах $A$ и $B$ соответственно. Мы вычитаем $|A \cap B|$ (количество элементов в их пересечении), так как эти элементы были посчитаны дважды: один раз в составе $|A|$ и второй раз в составе $|B|$.

Случай трех множеств. Для трех множеств $A$, $B$ и $C$ формула выглядит следующим образом:
$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$
Логика здесь такова: сначала мы складываем мощности всех трех множеств. Затем вычитаем мощности попарных пересечений, чтобы убрать двойной счет. Однако элементы, входящие во все три множества сразу, мы сначала учли трижды, а затем трижды вычли. Поэтому, чтобы учесть их один раз, нужно прибавить мощность тройного пересечения.

Ответ: Формула для двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$. Формула для трех множеств: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + |A \cap B \cap C|$.

Общая формула

Для $n$ конечных множеств $A_1, A_2, \dots, A_n$ формула включений и исключений в общем виде записывается так:
$|\bigcup_{i=1}^{n} A_i| = \sum_{i=1}^{n} |A_i| - \sum_{1 \le i < j \le n} |A_i \cap A_j| + \sum_{1 \le i < j < k \le n} |A_i \cap A_j \cap A_k| - \dots + (-1)^{n-1} |A_1 \cap \dots \cap A_n|$
Эту же формулу можно записать более компактно с использованием знака суммирования по всем непустым подмножествам индексов:
$|\bigcup_{i=1}^{n} A_i| = \sum_{\emptyset \neq I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}} (-1)^{|I|-1} |\bigcap_{i \in I} A_i|$
Здесь суммирование ведется по всем непустым подмножествам $I$ множества индексов $\{1, 2, \dots, n\}$, а $|I|$ — это количество элементов (мощность) в подмножестве $I$.

Ответ: Общая формула имеет вид $|\bigcup_{i=1}^{n} A_i| = \sum_{\emptyset \neq I \subseteq \{1, 2, \dots, n\}} (-1)^{|I|-1} |\bigcap_{i \in I} A_i|$.

Пример задачи

Задача: В туристической группе 15 человек знают английский язык, 12 — немецкий, а 5 человек знают оба этих языка. Сколько всего туристов в группе знают хотя бы один из этих двух иностранных языков?

Решение:
1. Обозначим множество туристов, знающих английский, как $A$. Тогда $|A| = 15$.
2. Обозначим множество туристов, знающих немецкий, как $B$. Тогда $|B| = 12$.
3. Множество туристов, знающих оба языка, является пересечением $A \cap B$. Тогда $|A \cap B| = 5$.
4. Нам нужно найти количество туристов, знающих хотя бы один язык, то есть мощность объединения множеств $A \cup B$.
5. Применяем формулу включений и исключений для двух множеств:
$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 15 + 12 - 5 = 22$.

Ответ: 22 туриста знают хотя бы один из этих двух языков.