Номер 2, страница 330 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 2, страница 330.

Условие.

2. Леонард Эйлер — великий математик

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Белл Э.Т. Творцы математики. — М. : Просвещение, 1979.

2) Гиндикин С.Г. Рассказы о физиках и математиках. — М. : МЦНМО, 2006.

3) Делоне Б.Н. Леонард Эйлер // Квант. — 1974. — № 5.

4) Полякова Т.С. Леонард Эйлер и математическое образование в России. — КомКнига, 2007.

5) Развитие идей Леонарда Эйлера и современная наука : сб. статей. — М. : Наука, 1988.

6) Энциклопедия для детей. Том 11. Математика. — М. : Аванта +, 2003.

7) http://school-collection.edu.ru/catalog/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

8) http://www.math.ru/lib/ — Электронная библиотека книг по математике.

9) http://ru.wikipedia.org/wiki/ — Леонард Эйлер.

Решение.

Леонард Эйлер (1707–1783) — швейцарский, прусский и российский математик и механик, внёсший фундаментальный вклад в развитие этих и многих других наук. Его по праву считают одним из величайших математиков в истории. Его продуктивность была феноменальной: полное собрание его сочинений составляет более 80 томов. Величие Эйлера заключается не только в количестве его работ, но и в их глубине, широте охвата и влиянии на последующие поколения учёных. Рассмотрим его ключевые достижения, подтверждающие статус "великого математика".

Вклад в математический анализ

Эйлер заложил основы современного математического анализа. Именно он ввёл понятие функции в том виде, в котором мы его используем сегодня, и ввёл стандартное обозначение $f(x)$. Он был виртуозом в работе с бесконечными рядами, степенными рядами и разложениями функций. Одним из его самых знаменитых достижений было решение "Базельской проблемы" — нахождение точной суммы ряда обратных квадратов:

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \dots = \frac{\pi^2}{6}$

Эйлер ввёл в математику фундаментальные константы: число $e$ (основание натурального логарифма, иногда называемое числом Эйлера) и мнимую единицу $i = \sqrt{-1}$. Он связал экспоненциальную функцию с тригонометрическими через знаменитую "формулу Эйлера":

$e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)$

Частный случай этой формулы при $x = \pi$ даёт "тождество Эйлера", которое называют самым красивым математическим уравнением, так как оно связывает пять фундаментальных математических констант:

$e^{i\pi} + 1 = 0$

Также он внёс огромный вклад в теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление.

Ответ: Леонард Эйлер является одним из создателей математического анализа. Он ввёл понятие функции и её обозначение $f(x)$, число $e$, и открыл фундаментальную связь между экспоненциальной и тригонометрическими функциями, выраженную в его знаменитой формуле, что определило развитие анализа на столетия вперёд.

Вклад в теорию чисел

Эйлер фактически создал теорию чисел как самостоятельную дисциплину. Он обобщил Малую теорему Ферма, введя "функцию Эйлера" $\phi(n)$ (количество натуральных чисел, меньших $n$ и взаимно простых с ним). Его обобщение известно как "теорема Эйлера":

$a^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$

Эта теорема лежит в основе современных криптографических систем с открытым ключом, таких как RSA. Эйлер также доказал Великую теорему Ферма для случая $n=3$, изучал квадратичный закон взаимности, внёс вклад в теорию разбиения чисел и исследовал свойства дзета-функции Римана задолго до самого Римана, установив её связь с простыми числами (тождество Эйлера).

Ответ: Эйлер заложил основы современной теории чисел, введя функцию Эйлера и доказав одноимённую теорему, которая имеет колоссальное значение в современной криптографии. Его работы в этой области стали отправной точкой для многих последующих открытий.

Вклад в геометрию и топологию

Знаменитая задача о семи мостах Кёнигсберга привела Эйлера к созданию новой области математики — теории графов. Он доказал, что невозможно пройти по всем семи мостам, переходя через каждый из них ровно один раз. В ходе решения он сформулировал общие принципы, касающиеся вершин и рёбер графа, заложив основы этой дисциплины.

Другим его фундаментальным открытием является "формула Эйлера для многогранников", которая связывает число вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г) любого выпуклого многогранника:

$В - Р + Г = 2$

Это соотношение стало одним из первых результатов в топологии — разделе математики, изучающем свойства фигур, которые не меняются при непрерывных деформациях.

Ответ: Решив задачу о мостах Кёнигсберга, Эйлер основал теорию графов. Его формула для многогранников стала краеугольным камнем топологии, продемонстрировав его способность создавать целые новые области математики.

Вклад в механику, физику и стандартизацию обозначений

Работы Эйлера не ограничивались чистой математикой. Он внёс огромный вклад в механику, особенно в гидродинамику (уравнения Эйлера описывают движение идеальной жидкости) и теорию движения твёрдого тела (углы Эйлера, уравнения динамики Эйлера). Он занимался небесной механикой, оптикой, баллистикой и даже теорией музыки.

Кроме того, Эйлер ввёл и популяризировал многие из современных математических обозначений. Помимо уже упомянутых $f(x)$, $e$ и $i$, именно он закрепил использование буквы $\pi$ для обозначения отношения длины окружности к её диаметру, знака $\sum$ для суммирования и многих других символов. Благодаря ему математический язык стал более универсальным и понятным.

Ответ: Эйлер успешно применял математический аппарат для решения сложнейших задач физики и механики, а также унифицировал математический язык, введя общепринятые сегодня обозначения, что значительно упростило развитие науки.