Номер 41.18, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.18, страница 326.

Условие.

41.18. На экзамен по математике выносят 50 вопросов. Студент подготовил 40 вопросов. Билет состоит из шести вопросов, выбранных случайным образом. Чтобы сдать экзамен, достаточно ответить на 4 вопроса билета. Какова вероятность того, что ученик сдаст экзамен?

Решение.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. В данном случае исходами являются различные наборы из 6 вопросов.

Исходные данные:
- Общее количество вопросов: 50.
- Количество подготовленных вопросов: 40.
- Количество неподготовленных вопросов: $50 - 40 = 10$.
- Количество вопросов в билете: 6.
- Условие сдачи экзамена: ответить на 4, 5 или 6 вопросов.

1. Определение общего числа исходов

Общее число способов сформировать билет из 6 вопросов из 50 имеющихся равно числу сочетаний из 50 по 6. Обозначим это число как $N$.

$N = C_{50}^6 = \frac{50!}{6!(50-6)!} = \frac{50!}{6!44!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48 \cdot 47 \cdot 46 \cdot 45}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$

Вычислим значение:

$N = 15,890,700$

Таким образом, существует 15,890,700 различных вариантов экзаменационных билетов.

2. Определение числа благоприятных исходов

Студент сдаст экзамен, если в его билете будет 4, 5 или 6 подготовленных вопросов. Эти три случая являются несовместными событиями, поэтому общее число благоприятных исходов $M$ будет равно сумме исходов для каждого из этих случаев.

Случай 1: В билете 4 подготовленных и 2 неподготовленных вопроса.

Число способов выбрать 4 подготовленных вопроса из 40 равно $C_{40}^4$.

Число способов выбрать 2 неподготовленных вопроса из 10 равно $C_{10}^2$.

Количество комбинаций для этого случая ($m_1$):

$m_1 = C_{40}^4 \cdot C_{10}^2 = \left(\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\right) \cdot \left(\frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1}\right) = 91,390 \cdot 45 = 4,112,550$

Случай 2: В билете 5 подготовленных и 1 неподготовленный вопрос.

Число способов выбрать 5 подготовленных вопросов из 40 равно $C_{40}^5$.

Число способов выбрать 1 неподготовленный вопрос из 10 равно $C_{10}^1$.

Количество комбинаций для этого случая ($m_2$):

$m_2 = C_{40}^5 \cdot C_{10}^1 = \left(\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\right) \cdot 10 = 658,008 \cdot 10 = 6,580,080$

Случай 3: В билете 6 подготовленных и 0 неподготовленных вопросов.

Число способов выбрать 6 подготовленных вопросов из 40 равно $C_{40}^6$.

Число способов выбрать 0 неподготовленных вопросов из 10 равно $C_{10}^0 = 1$.

Количество комбинаций для этого случая ($m_3$):

$m_3 = C_{40}^6 \cdot C_{10}^0 = \left(\frac{40 \cdot 39 \cdot 38 \cdot 37 \cdot 36 \cdot 35}{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}\right) \cdot 1 = 3,838,380 \cdot 1 = 3,838,380$

Теперь найдем общее число благоприятных исходов $M$:

$M = m_1 + m_2 + m_3 = 4,112,550 + 6,580,080 + 3,838,380 = 14,531,010$

3. Расчет вероятности сдачи экзамена

Вероятность $P$ того, что студент сдаст экзамен, равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$.

$P = \frac{M}{N} = \frac{14,531,010}{15,890,700}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 10:

$P = \frac{1,453,101}{1,589,070}$

Вычислим приближенное значение:

$P \approx 0.914436$

Ответ: Вероятность того, что ученик сдаст экзамен, равна $ \frac{14,531,010}{15,890,700} \approx 0.914 $.