Номер 41.14, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.14, страница 326.

Условие.

41.14. Эксперимент состоит в одновременном бросании четырёх игральных кубиков. Найдите вероятность того, что выпадут:

1) три шестёрки и одна пятёрка;

2) четыре одинаковые цифры;

3) не больше одной шестёрки;

4) две шестёрки.

Решение.

Эксперимент состоит в одновременном бросании четырёх игральных кубиков. У каждого кубика 6 граней с числами от 1 до 6. Так как броски кубиков являются независимыми событиями, общее число всех равновозможных исходов эксперимента можно найти по формуле числа размещений с повторениями:

$N = 6^4 = 1296$.

1) три шестёрки и одна пятёрка

Для наступления этого события необходимо, чтобы на трёх кубиках выпала шестёрка, а на одном — пятёрка. Пятёрка может выпасть на любом из четырёх кубиков. Количество способов выбрать один кубик из четырёх, на котором выпадет пятёрка, равно числу сочетаний из 4 по 1:

$m_1 = C_4^1 = \binom{4}{1} = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$.

Это соответствует четырём благоприятным исходам: (6, 6, 6, 5), (6, 6, 5, 6), (6, 5, 6, 6) и (5, 6, 6, 6).

Вероятность $P_1$ данного события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{m_1}{N} = \frac{4}{1296} = \frac{1}{324}$.

Ответ: $ \frac{1}{324} $

2) четыре одинаковые цифры

Данное событие означает, что на всех четырёх кубиках выпало одно и то же число. Благоприятными исходами являются следующие комбинации: (1, 1, 1, 1), (2, 2, 2, 2), (3, 3, 3, 3), (4, 4, 4, 4), (5, 5, 5, 5), (6, 6, 6, 6).

Таким образом, число благоприятных исходов $m_2 = 6$.

Вероятность $P_2$ этого события равна:

$P_2 = \frac{m_2}{N} = \frac{6}{1296} = \frac{1}{216}$.

Ответ: $ \frac{1}{216} $

3) не больше одной шестёрки

Это событие означает, что выпадет либо ни одной шестёрки, либо ровно одна шестёрка. Эти два случая являются несовместными, поэтому мы можем вычислить число благоприятных исходов для каждого случая и сложить их.

Случай А: Выпало ноль шестёрок.

На каждом из четырёх кубиков может выпасть любое из 5 чисел (1, 2, 3, 4, 5). Число таких исходов:

$m_{3a} = 5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$.

Случай Б: Выпала ровно одна шестёрка.

Сначала нужно выбрать, на каком из четырёх кубиков выпадет шестёрка. Это можно сделать $C_4^1 = 4$ способами. На остальных трёх кубиках должны выпасть любые числа, кроме шестёрки (5 вариантов для каждого). Число таких исходов:

$m_{3b} = C_4^1 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$.

Общее число благоприятных исходов $m_3$ равно сумме исходов в этих двух случаях:

$m_3 = m_{3a} + m_{3b} = 625 + 500 = 1125$.

Вероятность $P_3$ этого события равна:

$P_3 = \frac{m_3}{N} = \frac{1125}{1296} = \frac{125}{144}$.

Ответ: $ \frac{125}{144} $

4) две шестёрки

Найдём число исходов, при которых выпало ровно две шестёрки. Сначала выберем два кубика из четырёх, на которых выпадут шестёрки. Количество способов это сделать равно числу сочетаний из 4 по 2:

$C_4^2 = \binom{4}{2} = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

На двух оставшихся кубиках должны выпасть любые числа, кроме шестёрки (то есть 5 вариантов для каждого кубика). Число комбинаций для оставшихся двух кубиков равно $5^2 = 25$.

Общее число благоприятных исходов $m_4$ находим, перемножая число способов выбора кубиков для шестёрок и число вариантов для остальных кубиков:

$m_4 = C_4^2 \cdot 5^2 = 6 \cdot 25 = 150$.

Вероятность $P_4$ этого события равна:

$P_4 = \frac{m_4}{N} = \frac{150}{1296} = \frac{25}{216}$.

Ответ: $ \frac{25}{216} $