Номер 41.13, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.13, страница 326.

Условие.

41.13. Найдите вероятность того, что дни рождения семи наугад выбранных человек выпадают на разные дни недели.

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих рассматриваемому событию.

1. Определение общего числа исходов (n)
Всего в неделе 7 дней. Мы рассматриваем дни рождения 7 человек. Для каждого человека день рождения может выпасть на любой из 7 дней недели. Так как выбор дня рождения для одного человека не зависит от выбора для других, общее количество всех возможных комбинаций дней рождения для 7 человек рассчитывается как произведение числа вариантов для каждого:$n = 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 \times 7 = 7^7$Вычислим это значение:$n = 7^7 = 823543$Таким образом, существует 823543 возможных варианта распределения дней рождения семи человек по дням недели.

2. Определение числа благоприятствующих исходов (m)
Благоприятным исходом является ситуация, когда дни рождения всех 7 человек выпадают на разные дни недели. Для первого человека день рождения может быть в любой из 7 дней недели. Для второго человека, чтобы его день рождения не совпал с днем рождения первого, остается 6 свободных дней. Для третьего человека остается 5 свободных дней. Для четвертого — 4 дня. Для пятого — 3 дня. Для шестого — 2 дня. Для седьмого человека остается последний 1 свободный день недели. Число таких комбинаций равно произведению числа вариантов для каждого человека:$m = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 7!$Вычислим это значение:$m = 7! = 5040$Итак, существует 5040 способов, чтобы дни рождения семи человек пришлись на разные дни недели.

3. Вычисление вероятности
Теперь мы можем найти искомую вероятность, разделив число благоприятствующих исходов на общее число исходов:$P = \frac{m}{n} = \frac{7!}{7^7} = \frac{5040}{823543}$

Ответ: $\frac{5040}{823543}$