Номер 41.7, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.7, страница 325.

Условие.

41.7. В партии из 100 лампочек 7 бракованных. Какова вероятность выбрать наугад из этой партии 4 небракованные лампочки?

Решение.

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов. Формула вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$.

Сначала определим общее количество небракованных лампочек в партии:

$100 \text{ (всего)} - 7 \text{ (бракованных)} = 93 \text{ (небракованные)}$.

Событие $A$, вероятность которого мы ищем, — это выбор 4 небракованных лампочек из всей партии.

1. Найдем общее число возможных исходов (n).

Общее число исходов — это количество способов выбрать 4 лампочки из 100 имеющихся. Так как порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

$n = C_{100}^4 = \frac{100!}{4!(100-4)!} = \frac{100!}{4!96!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

2. Найдем число благоприятствующих исходов (m).

Благоприятствующий исход — это выбор 4 небракованных лампочек. Мы должны выбрать 4 лампочки из 93 небракованных.

$m = C_{93}^4 = \frac{93!}{4!(93-4)!} = \frac{93!}{4!89!} = \frac{93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

3. Вычислим вероятность P(A).

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{93}^4}{C_{100}^4} = \frac{\frac{93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}{\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}}$.

Множитель $\frac{1}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем:

$P(A) = \frac{93 \cdot 92 \cdot 91 \cdot 90}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97}$.

Теперь сократим эту дробь:

$P(A) = \frac{93}{99} \cdot \frac{92}{100} \cdot \frac{91}{98} \cdot \frac{90}{97}$

Сокращаем каждую дробь по отдельности:

• $\frac{93}{99} = \frac{31 \cdot 3}{33 \cdot 3} = \frac{31}{33}$
• $\frac{92}{100} = \frac{23 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{23}{25}$
• $\frac{91}{98} = \frac{13 \cdot 7}{14 \cdot 7} = \frac{13}{14}$

Теперь подставим сокращенные дроби обратно в выражение:

$P(A) = \frac{31}{33} \cdot \frac{23}{25} \cdot \frac{13}{14} \cdot \frac{90}{97}$

Продолжим сокращение:

$P(A) = \frac{31 \cdot 23 \cdot 13 \cdot 90}{33 \cdot 25 \cdot 14 \cdot 97} = \frac{31 \cdot 23 \cdot 13 \cdot (18 \cdot 5)}{(3 \cdot 11) \cdot (5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 7) \cdot 97} = \frac{31 \cdot 23 \cdot 13 \cdot (9 \cdot 2 \cdot 5)}{3 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 97}$

Сокращаем общие множители 2, 5, 3:

$P(A) = \frac{31 \cdot 23 \cdot 13 \cdot 3}{11 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 97} = \frac{27807}{37345}$.

Вероятность можно также представить в виде десятичной дроби:

$P(A) \approx 0,7446$.

Ответ: $\frac{27807}{37345}$