Номер 40.39, страница 320 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.39, страница 320.

Условие.

40.39. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - 10x + 12 = 0$. Не решая этого уравнения, найдите значение выражения $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$.

Решение.

Дано квадратное уравнение $x^2 - 10x + 12 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$. Задача состоит в том, чтобы найти значение выражения $\frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2}$, не решая само уравнение.

Для этого воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$, сумма корней равна $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней равно $x_1 \cdot x_2 = q$.

В нашем уравнении $x^2 - 10x + 12 = 0$ коэффициенты равны $p = -10$ и $q = 12$. Следовательно:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-10) = 10$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 12$.

Теперь преобразуем искомое выражение. Приведем дроби к общему знаменателю $x_1 x_2$: $$ \frac{x_2}{x_1} + \frac{x_1}{x_2} = \frac{x_2 \cdot x_2}{x_1 x_2} + \frac{x_1 \cdot x_1}{x_1 x_2} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} $$

Далее, выразим числитель $x_1^2 + x_2^2$ через известные нам сумму и произведение корней. Мы знаем, что $(x_1 + x_2)^2 = x_1^2 + 2x_1x_2 + x_2^2$. Отсюда следует, что $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$.

Подставим это в наше выражение: $$ \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2} = \frac{(x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2}{x_1 x_2} $$

Осталось подставить численные значения суммы и произведения корней, которые мы нашли ранее: $x_1 + x_2 = 10$ и $x_1 x_2 = 12$. $$ \frac{(10)^2 - 2 \cdot 12}{12} = \frac{100 - 24}{12} = \frac{76}{12} $$

Сократим полученную дробь на 4: $$ \frac{76}{12} = \frac{19}{3} $$ Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $6\frac{1}{3}$.

Ответ: $6\frac{1}{3}$