Номер 40.38, страница 320 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.38, страница 320.

Условие.

40.38. Постройте график функции $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 4}{x^2 - 4}$.

Решение.

Для построения графика функции $y = \frac{x^4 - 3x^2 - 4}{x^2 - 4}$ необходимо выполнить её анализ и упрощение.

1. Найдём область определения функции. Так как функция представляет собой дробь, её знаменатель не может быть равен нулю. $x^2 - 4 \neq 0$ $(x - 2)(x + 2) \neq 0$ Отсюда следует, что $x \neq 2$ и $x \neq -2$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Упростим выражение функции. Для этого разложим числитель $x^4 - 3x^2 - 4$ на множители. Это биквадратный трёхчлен. Введём замену $t = x^2$, где $t \ge 0$. Получим квадратный трёхчлен $t^2 - 3t - 4$. Найдём его корни, решив уравнение $t^2 - 3t - 4 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$. Разложение на множители для трёхчлена с переменной $t$ будет $(t - 4)(t + 1)$. Выполним обратную замену $t = x^2$: $x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1)$.

3. Подставим разложенный числитель обратно в функцию: $y = \frac{(x^2 - 4)(x^2 + 1)}{x^2 - 4}$.

На области определения функции, где $x \neq \pm 2$, мы можем сократить дробь на множитель $(x^2 - 4)$. Таким образом, для всех $x$ из области определения функция принимает вид: $y = x^2 + 1$.

4. Построение графика. График исходной функции совпадает с графиком параболы $y = x^2 + 1$ во всех точках, за исключением тех, которые не входят в область определения. График $y = x^2 + 1$ — это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 1 единицу вверх вдоль оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0; 1)$, а её ветви направлены вверх.

Необходимо исключить ("выколоть") из этого графика точки, абсциссы которых равны $-2$ и $2$. Найдём ординаты этих точек, подставив значения $x$ в упрощенную функцию $y = x^2 + 1$:
- при $x = -2$: $y = (-2)^2 + 1 = 4 + 1 = 5$;
- при $x = 2$: $y = 2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$.
Следовательно, точки $(-2; 5)$ и $(2; 5)$ не принадлежат графику исходной функции. На графике они изображаются как "пустые" или "выколотые" точки.

Итоговый график — это парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(-2; 5)$ и $(2; 5)$.

Ответ: График функции представляет собой параболу $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(-2; 5)$ и $(2; 5)$.