Номер 40.36, страница 319 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 40. Классическое определение вероятности - номер 40.36, страница 319.

Условие.

40.36. За круглый стол случайным образом сели $n$ человек ($n > 2$). Из них только двое знакомы друг с другом. Какова вероятность того, что двое знакомых окажутся рядом?

Решение.

Для нахождения вероятности воспользуемся методом, в котором мы зафиксируем положение одного из знакомых и будем рассматривать возможные положения для второго.

Пусть за круглый стол садятся $n$ человек, среди которых есть двое знакомых, назовем их А и Б.Поскольку стол круглый и все места равнозначны, посадим человека А на произвольное место. Это не повлияет на итоговую вероятность. После того как человек А сел, осталось $n-1$ свободных мест для остальных $n-1$ человек. Человек Б может случайным образом занять любое из этих $n-1$ свободных мест. Следовательно, общее число равновероятных исходов для размещения человека Б равно $n-1$.

Благоприятным исходом считается тот, при котором человек Б окажется рядом с человеком А. Рядом с местом, на котором сидит А, есть ровно два места: одно слева и одно справа. Таким образом, число благоприятных исходов равно 2.

Вероятность $P$ искомого события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов:

$P = \frac{\text{число благоприятных исходов}}{\text{общее число исходов}} = \frac{2}{n-1}$

Этот результат можно проверить и с помощью комбинаторных формул. Общее число способов рассадить $n$ человек за круглым столом равно $(n-1)!$. Число благоприятных исходов (когда А и Б сидят вместе) можно найти, если считать пару (А, Б) одним целым. Тогда мы рассаживаем $(n-1)$ объектов, что можно сделать $(n-2)!$ способами. Внутри пары А и Б могут меняться местами ($2! = 2$ способа). Итого, $2 \cdot (n-2)!$ благоприятных исходов. Вероятность: $P = \frac{2 \cdot (n-2)!}{(n-1)!} = \frac{2 \cdot (n-2)!}{(n-1) \cdot (n-2)!} = \frac{2}{n-1}$.

Ответ: $\frac{2}{n-1}$