Номер 41.1, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.1, страница 325.

Условие.

41.1. Наугад выбирают 4 буквы из слова «ЗАКОН». Какова вероятность того, что из выбранных четырёх букв можно составить слово «КОЗА»?

Решение.

41.1.

Для решения этой задачи мы будем использовать классическое определение вероятности. Вероятность события $P$ равна отношению числа благоприятных исходов $M$ к общему числу равновозможных исходов $N$: $P = \frac{M}{N}$.

Сначала определим общее число исходов $N$. Исходное слово «ЗАКОН» состоит из 5 различных букв: {З, А, К, О, Н}. Мы выбираем наугад 4 буквы из этих 5. Поскольку порядок, в котором мы выбираем буквы, не важен, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. В нашем случае $n=5$ (всего букв) и $k=4$ (выбираем букв). $N = C_5^4 = \frac{5!}{4!(5-4)!} = \frac{5!}{4!1!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(4 \times 3 \times 2 \times 1) \times 1} = 5$. Итак, существует 5 различных способов выбрать 4 буквы из слова «ЗАКОН».

Теперь определим число благоприятных исходов $M$. Благоприятный исход — это когда из выбранных четырёх букв можно составить слово «КОЗА». Для этого необходимо, чтобы в нашем наборе оказались именно буквы {К, О, З, А}. Поскольку все эти буквы есть в исходном слове «ЗАКОН», то существует только один способ выбрать именно этот набор букв (выбрать все буквы, кроме 'Н'). Следовательно, число благоприятных исходов $M = 1$.

Наконец, вычислим вероятность: $P = \frac{M}{N} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$