Номер 41.4, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.4, страница 325.

Условие.

41.4. Наугад выбирают 6 букв из слова «БЕЛГРАД». Какова вероятность того, что выбранные буквы в последовательности выбора образуют слово «ДАР»?

Решение.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов.

Исходное слово «БЕЛГРАД» состоит из 7 различных букв. Из этих 7 букв наугад выбирают 6 букв, причем важна последовательность их выбора. Это означает, что мы имеем дело с размещениями без повторений.

1. Найдем общее число возможных исходов.

Общее число исходов ($N$) — это количество способов выбрать 6 букв из 7 с учетом порядка. Это число размещений из 7 элементов по 6. Формула для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

В данном случае $n=7$ и $k=6$:

$N = A_7^6 = \frac{7!}{(7-6)!} = \frac{7!}{1!} = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.

Таким образом, существует 5040 различных последовательностей из 6 букв, которые можно составить.

2. Найдем число благоприятных исходов.

Благоприятным исходом является событие, когда выбранные буквы в последовательности выбора образуют слово «ДАР». Это означает, что первые три выбранные буквы должны быть «Д», «А», «Р» именно в этом порядке.

Рассчитаем количество таких последовательностей ($M$):

• Выбор первой буквы: должна быть «Д». В слове «БЕЛГРАД» одна такая буква, следовательно, есть 1 способ.
• Выбор второй буквы: должна быть «А». Есть 1 способ.
• Выбор третьей буквы: должна быть «Р». Есть 1 способ.

После того как первые три буквы выбраны, нам нужно выбрать еще 3 буквы (для 4-й, 5-й и 6-й позиций) из оставшихся. В слове «БЕЛГРАД» после исключения букв Д, А, Р остаются 4 буквы: Б, Е, Л, Г.

Число способов выбрать и расположить 3 буквы из оставшихся 4-х — это число размещений из 4 по 3:

$A_4^3 = \frac{4!}{(4-3)!} = \frac{4!}{1!} = 4 \times 3 \times 2 = 24$.

Общее число благоприятных исходов равно произведению числа способов для каждого этапа выбора:

$M = 1 \times 1 \times 1 \times 24 = 24$.

3. Вычислим вероятность.

Вероятность ($P$) события равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{M}{N} = \frac{24}{5040}$

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{24}{24 \times 210} = \frac{1}{210}$

Ответ: $\frac{1}{210}$