Номер 41.6, страница 325 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.6, страница 325.

Условие.

41.6. Для школьной лотереи подготовили 50 билетов, из которых 10 призовых. Ученик выбрал наугад 3 билета. Какова вероятность того, что все эти билеты будут призовыми?

Решение.

41.6. Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Пусть событие $A$ заключается в том, что все 3 выбранных билета являются призовыми.

Сначала определим общее число $n$ способов выбрать 3 билета из 50. Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Общее число элементарных исходов $n$ (количество способов выбрать 3 билета из 50) равно:

$n = C_{50}^3 = \frac{50!}{3!(50-3)!} = \frac{50!}{3!47!} = \frac{50 \cdot 49 \cdot 48}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 50 \cdot 49 \cdot 8 = 19600$.

Далее определим число благоприятствующих исходов $m$. Это количество способов выбрать 3 призовых билета из 10 имеющихся призовых билетов:

$m = C_{10}^3 = \frac{10!}{3!(10-3)!} = \frac{10!}{3!7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Теперь мы можем вычислить искомую вероятность $P(A)$:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{120}{19600} = \frac{12}{1960} = \frac{3}{490}$.

Также задачу можно решить, рассматривая выбор билетов как последовательные зависимые события. Вероятность того, что первый выбранный билет окажется призовым, составляет $\frac{10}{50}$. Если первый билет был призовым, то остается 49 билетов, из которых 9 призовых, поэтому вероятность вытащить второй призовой билет равна $\frac{9}{49}$. Аналогично, вероятность вытащить третий призовой билет при условии, что первые два были призовыми, равна $\frac{8}{48}$. Общая вероятность равна произведению этих вероятностей:

$P(A) = \frac{10}{50} \cdot \frac{9}{49} \cdot \frac{8}{48} = \frac{1}{5} \cdot \frac{9}{49} \cdot \frac{1}{6} = \frac{9}{1470} = \frac{3}{490}$.

Оба метода приводят к одному и тому же результату.

Ответ: $\frac{3}{490}$.