Номер 41.10, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.10, страница 326.

Условие.

41.10. Десять карточек пронумерованы натуральными числами от 1 до 10. Наугад выбирают 2 из них. Какова вероятность того, что сумма номеров выбранных карточек будет нечётным числом?

Решение.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{M}{N}$, где $N$ – общее число равновозможных исходов, а $M$ – число исходов, благоприятствующих событию.

Сначала найдем общее число способов выбрать 2 карточки из 10. Поскольку порядок выбора карточек не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае общее количество карточек $n=10$, а выбираем мы $k=2$ карточки. Таким образом, общее число исходов $N$ равно:

$N = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2!8!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.

Следовательно, существует 45 способов выбрать 2 карточки из 10.

Теперь найдем число благоприятных исходов $M$. Нас интересует событие, при котором сумма номеров на выбранных карточках является нечётным числом. Сумма двух целых чисел нечётна тогда и только тогда, когда одно из чисел чётное, а другое — нечётное.

Среди чисел от 1 до 10 имеются:

- 5 нечётных чисел: 1, 3, 5, 7, 9.

- 5 чётных чисел: 2, 4, 6, 8, 10.

Для получения нечётной суммы нам необходимо выбрать одну карточку с нечётным номером и одну карточку с чётным номером. Число способов выбрать 1 нечётную карточку из 5 имеющихся нечётных равно $C_5^1 = 5$. Число способов выбрать 1 чётную карточку из 5 имеющихся чётных равно $C_5^1 = 5$.

Согласно комбинаторному правилу произведения, общее число способов выбрать одну нечётную и одну чётную карточку (число благоприятных исходов $M$) равно:

$M = C_5^1 \cdot C_5^1 = 5 \cdot 5 = 25$.

Теперь мы можем рассчитать искомую вероятность:

$P = \frac{M}{N} = \frac{25}{45}$.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$P = \frac{25 \div 5}{45 \div 5} = \frac{5}{9}$.

Ответ: $\frac{5}{9}$