Номер 41.16, страница 326 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.16, страница 326.

Условие.

41.16. В ящике лежат 15 синих, 4 зелёных и 6 жёлтых шаров. Наугад выбирают 7 шаров. Какова вероятность того, что среди выбранных шаров будут 3 синих, 2 жёлтых и 2 зелёных?

Решение.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события $A$ равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов $m$ к общему числу всех равновозможных исходов $n$: $P(A) = \frac{m}{n}$.

1. Найдём общее число исходов $n$.
Всего в ящике находится $15 \text{ (синих)} + 4 \text{ (зелёных)} + 6 \text{ (жёлтых)} = 25$ шаров. Общее число исходов $n$ — это количество способов выбрать 7 шаров из 25. Это число сочетаний из 25 по 7. $n = C_{25}^7 = \binom{25}{7} = \frac{25!}{7!(25-7)!} = \frac{25!}{7!18!}$
$n = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 21 \cdot 20 \cdot 19}{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$
Выполним сокращения: $n = 25 \cdot 23 \cdot 22 \cdot 2 \cdot 19 = 480700$.
Таким образом, общее число равновозможных исходов составляет 480700.

2. Найдём число благоприятствующих исходов $m$.
Благоприятствующий исход — это выбор 3 синих, 2 жёлтых и 2 зелёных шаров. Согласно правилу произведения в комбинаторике, общее число таких исходов равно произведению числа способов выбора шаров каждого цвета.

• Число способов выбрать 3 синих шара из 15: $C_{15}^3 = \binom{15}{3} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 455$.
• Число способов выбрать 2 жёлтых шара из 6: $C_{6}^2 = \binom{6}{2} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.
• Число способов выбрать 2 зелёных шара из 4: $C_{4}^2 = \binom{4}{2} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$.

Теперь перемножим полученные значения: $m = C_{15}^3 \cdot C_{6}^2 \cdot C_{4}^2 = 455 \cdot 15 \cdot 6 = 40950$.
Число благоприятствующих исходов равно 40950.

3. Вычислим искомую вероятность.
Подставим найденные значения $m$ и $n$ в формулу вероятности: $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{40950}{480700}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 10, а затем на 5: $P(A) = \frac{4095}{48070} = \frac{4095 \div 5}{48070 \div 5} = \frac{819}{9614}$.
Эта дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{819}{9614}$