Номер 41.22, страница 327 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Глава 6. Элементы комбинаторики и теории вероятностей. Параграф 41. Вычисление вероятностей с помощью правил комбинаторики - номер 41.22, страница 327.

Условие.

41.22. Составьте квадратное уравнение, корни которого на три единицы больше, чем соответствующие корни уравнения $x^2 - 8x + 2 = 0$.

Решение.

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного квадратного уравнения $x^2 - 8x + 2 = 0$. Согласно теореме Виета, для приведенного квадратного уравнения ($x^2 + px + q = 0$) сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. В нашем случае $p = -8$ и $q = 2$.

Следовательно, для корней исходного уравнения выполняются следующие равенства:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-8) = 8$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$.

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового, искомого уравнения. По условию задачи, они на три единицы больше соответствующих корней исходного уравнения. Таким образом, мы имеем:
$y_1 = x_1 + 3$
$y_2 = x_2 + 3$

Чтобы составить новое квадратное уравнение, нам нужно найти сумму и произведение его корней ($y_1 + y_2$ и $y_1 \cdot y_2$).

Найдем сумму новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 + 3) + (x_2 + 3) = (x_1 + x_2) + 6$.
Мы знаем, что $x_1 + x_2 = 8$, поэтому:
$y_1 + y_2 = 8 + 6 = 14$.

Найдем произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 + 3)(x_2 + 3) = x_1x_2 + 3x_1 + 3x_2 + 9 = x_1x_2 + 3(x_1 + x_2) + 9$.
Мы знаем, что $x_1 \cdot x_2 = 2$ и $x_1 + x_2 = 8$, поэтому:
$y_1 \cdot y_2 = 2 + 3 \cdot 8 + 9 = 2 + 24 + 9 = 35$.

Теперь, используя теорему, обратную теореме Виета, мы можем составить искомое квадратное уравнение. Если сумма корней равна $S$, а произведение равно $P$, то уравнение имеет вид $x^2 - Sx + P = 0$.
Подставим найденные значения $S=14$ и $P=35$:
$x^2 - 14x + 35 = 0$.

Ответ: $x^2 - 14x + 35 = 0$.