Номер 6, страница 331 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Поляков

Проектная работа - номер 6, страница 331.

Условие.

6. Поиск инварианта

Рекомендуемые литература и интернет-ресурсы

1) Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. — Киров : АСА, 1984.

2) Горбачёв Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике. — М. : МЦНМО, 2004.

3) Курляндчик Л., Фомин Д. Этюды о полуинварианте : приложение к ж-лу «Квант» : математический кружок. — М. : Бюро Квантум. Вып. 2. 1998.

4) Прасолов В.В. Задачи по планиметрии. — М. : МЦНМО, 2006.

5) Толпыго А. Инварианты : приложение к ж-лу «Квант» : математический кружок. — М. : Бюро Квантум. Вып. 2. 1998.

6) Фоминых Ю.Ф. Инварианты // Математика в школе. — 1998. — № 5.

7) http://school-collection.edu.ru/catalog/ — Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.

8) http://mmmf.msu.ru/ — Малый мехмат МГУ.

9) http://www.problems.ru/ — Задачи из разных разделов математики.

Решение.

На изображении представлен список литературы по теме "Поиск инварианта". Инвариант — это величина или свойство, которое не изменяется при выполнении определенных операций или преобразований. Поиск инварианта является мощным методом решения олимпиадных задач. Рассмотрим несколько классических примеров.

а) Можно ли замостить доминошками 1×2 шахматную доску 8×8, из которой вырезаны две противоположные угловые клетки?

Шахматная доска 8×8 состоит из $64$ клеток. После удаления двух клеток останется $64 - 2 = 62$ клетки. Каждая доминошка покрывает ровно 2 клетки, поэтому для покрытия 62 клеток потребуется $62 / 2 = 31$ доминошка. С точки зрения площади, это возможно.

Однако рассмотрим раскраску доски. Стандартная шахматная доска имеет 32 черные и 32 белые клетки. Противоположные угловые клетки всегда одного цвета. Предположим, что они обе белые. Тогда после их удаления на доске останется 32 черные клетки и $32 - 2 = 30$ белых клеток.

Каждая доминошка, как бы ее ни расположили, покрывает одну черную и одну белую клетку. Следовательно, 31 доминошка покроет 31 черную и 31 белую клетку. Но на нашей доске 32 черные и 30 белых клеток. Таким образом, замостить доску невозможно, так как количество черных и белых клеток, которые можно покрыть, не совпадает с количеством черных и белых клеток на доске.

Здесь инвариантом является разность между количеством черных и белых покрытых клеток — она всегда равна нулю. Для нашей доски эта разность не равна нулю ($32-30=2$).

Ответ: Нет, нельзя.

б) На доске написаны числа от 1 до 20. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$ и вместо них написать число $a + b + ab$. Какое число останется на доске после 19 таких операций?

На каждом шаге количество чисел на доске уменьшается на единицу. Изначально было 20 чисел, после 19 операций останется одно число.

Попробуем найти инвариант. Рассмотрим, как меняется какое-либо свойство набора чисел при замене $a$ и $b$ на $a+b+ab$. Заметим, что выражение $a+b+ab$ можно преобразовать, прибавив и отняв единицу: $a+b+ab = (a+1)(b+1) - 1$.

Это наводит на мысль рассмотреть произведение вида $P = (x_1+1)(x_2+1)...(x_k+1)$ для всех чисел $x_1, ..., x_k$, написанных на доске.

Изначально на доске числа от 1 до 20. Начальное произведение равно: $P_{0} = (1+1)(2+1)(3+1)...(20+1) = 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot ... \cdot 21 = 21!$

Когда мы заменяем числа $a$ и $b$ на $a+b+ab$, произведение меняется следующим образом: из него уходят множители $(a+1)$ и $(b+1)$, и добавляется новый множитель $((a+b+ab)+1)$. Как мы показали ранее, $((a+b+ab)+1) = (a+1)(b+1)$.

Таким образом, при каждой операции произведение $P$ не изменяется. Оно является инвариантом.

После 19 операций на доске останется одно число, назовем его $X$. Для этого конечного состояния произведение будет равно $P_{final} = (X+1)$.

Так как произведение является инвариантом, то $P_{final} = P_{0}$.

$X+1 = 21!$

$X = 21! - 1$

Ответ: $21! - 1$.